Qu'est-ce que la probabilité conditionnelle ?
Parfois, on reçoit une information avant de deviner. Cette information est un événement B qui a déjà eu lieu. Alors tous les résultats hors de B sont devenus impossibles. B devient le nouvel univers (la liste de tous les résultats possibles).
La chance de A sachant B s'écrit P(A|B). Lis la barre « | » comme « sachant ».
P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B), avec P(B) ≠ 0.
Quand tous les résultats sont équiprobables, on peut simplement compter : P(A|B) = n(A ∩ B) ÷ n(B).
Propriétés de la probabilité conditionnelle
- 0 ≤ P(A|B) ≤ 1, comme toute probabilité.
- P(S|B) = P(B|B) = 1 : dans le nouveau monde, B est certain.
- P(A′|B) = 1 − P(A|B) (A′ veut dire « non A »).
- Pour tous A et C : P(A ∪ C | B) = P(A|B) + P(C|B) − P(A ∩ C | B).
- P(A|B) et P(B|A) sont en général différents. Le dénominateur de la fraction change.
Formule des probabilités composées (règle de multiplication)
Multiplie les deux côtés de la définition par P(B). Tu obtiens la règle de multiplication :
P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B) = P(A) · P(B|A)
Utilise-la quand les choses arrivent l'une après l'autre, par exemple en tirant deux cartes sans remettre la première. Première chance × chance de la seconde, sachant la première.
Pour trois événements : P(A ∩ B ∩ C) = P(A) · P(B|A) · P(C|A ∩ B).
Événements indépendants
A et B sont indépendants si connaître l'un ne t'apprend rien sur l'autre : P(A|B) = P(A) (et P(B|A) = P(B)).
Mets cela dans la règle de multiplication et tu obtiens le test : P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
- Deux pièces différentes, deux dés différents, des tirages avec remise → indépendants.
- Des tirages sans remise → en général dépendants.
- Si A et B sont indépendants, alors A et B′, A′ et B, A′ et B′ le sont aussi.
- Trois événements sont indépendants seulement si chaque paire convient et si P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C).
Indépendants ne veut pas dire incompatibles
Incompatibles (ou mutuellement exclusifs) veut dire que A et B ne peuvent pas arriver ensemble : P(A ∩ B) = 0. Indépendants veut dire qu'ils n'agissent pas l'un sur l'autre. Si les deux ont une chance non nulle, ils ne peuvent pas être les deux à la fois : si A arrive, un B incompatible devient impossible, donc l'information a clairement changé B.
À essayer chez toi
Prends un paquet de 10 cartes : de 1 à 10. Devine la chance qu'une carte soit plus grande que 6 (c'est 4/10). Maintenant un ami regarde et dit « elle est paire ». Retire les cartes impaires. Il reste 2, 4, 6, 8, 10, et 8 et 10 sont plus grands que 6 : 2/5. Le même nombre 0,4 ! Donc « plus grand que 6 » et « pair » sont indépendants ici. Essaie avec « plus grand que 5 » et regarde la chance changer.
Formules et définitions clés
- P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), P(B) ≠ 0
- P(A|B) = n(A ∩ B) / n(B) (résultats équiprobables)
- P(A′|B) = 1 − P(A|B)
- P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)
- P(A ∩ B ∩ C) = P(A)·P(B|A)·P(C|A ∩ B)
- Indépendants : P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Exemples résolus
1. P(A) = 0.6, P(B) = 0.5 et P(A ∩ B) = 0.2. Trouve P(A|B) et P(B|A).
Étape 1 : P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0.2/0.5 = 0.4. Étape 2 : P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A) = 0.2/0.6 = 1/3. Remarque : les deux réponses sont différentes.
2. On lance deux dés équilibrés. Trouve la chance que la somme soit 8, sachant que le premier dé affiche un nombre pair.
Étape 1 : B = premier dé pair → 3 × 6 = 18 résultats. Étape 2 : A ∩ B = (2,6), (4,4), (6,2) → 3 résultats. Étape 3 : P(A|B) = 3/18 = 1/6.
3. Une famille a deux enfants. Sachant qu'au moins un est une fille, quelle est la chance que les deux soient des filles ?
Étape 1 : tous les cas : GG, GB, BG, BB (équiprobables). Étape 2 : B = au moins une fille → GG, GB, BG (3 cas). Étape 3 : A ∩ B = GG (1 cas). Étape 4 : P = 1/3 (pas 1/2 !).
4. Une boîte contient 5 stylos rouges et 3 bleus. On sort deux stylos l'un après l'autre sans remettre. Trouve la chance que les deux soient rouges.
Étape 1 : P(premier rouge) = 5/8. Étape 2 : Il reste 4 rouges sur 7 : P(second rouge | premier rouge) = 4/7. Étape 3 : Règle de multiplication : 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14.
5. On tire trois cartes une par une sans remise dans un jeu de 52. Trouve la chance que les trois soient des rois.
Étape 1 : P(K1) = 4/52. Étape 2 : P(K2 | K1) = 3/51. Étape 3 : P(K3 | K1 ∩ K2) = 2/50. Étape 4 : On multiplie : 4/52 × 3/51 × 2/50 = 24/132600 = 1/5525.
6. On lance un dé. E = « multiple de 3 », F = « pair ». E et F sont-ils indépendants ?
Étape 1 : E = {3, 6}, P(E) = 1/3. F = {2, 4, 6}, P(F) = 1/2. Étape 2 : E ∩ F = {6}, P(E ∩ F) = 1/6. Étape 3 : P(E)·P(F) = 1/3 × 1/2 = 1/6 = P(E ∩ F). Donc oui, ils sont indépendants.
7. A résout un problème avec une chance de 1/2 et B avec une chance de 1/3, chacun seul (indépendants). Trouve la chance que le problème soit résolu.
Étape 1 : P(A échoue) = 1/2, P(B échoue) = 2/3. Étape 2 : Les deux échouent (indépendants) : 1/2 × 2/3 = 1/3. Étape 3 : Résolu = 1 − 1/3 = 2/3.
8. P(A) = 0.3, P(B) = 0.4, et A, B sont indépendants. Trouve P(A ∪ B) et P(A′ ∩ B′).
Étape 1 : P(A ∩ B) = 0.3 × 0.4 = 0.12. Étape 2 : P(A ∪ B) = 0.3 + 0.4 − 0.12 = 0.58. Étape 3 : P(A′ ∩ B′) = 1 − P(A ∪ B) = 0.42 (vérification : 0.7 × 0.6 = 0.42 ✓).
Erreurs fréquentes
- Confondre P(A|B) et P(B|A). L'événement après la barre est celui qu'on connaît déjà ; il va au dénominateur.
- Diviser par tout l'univers après avoir appris B. Sachant B, on compte seulement à l'intérieur de B.
- Croire qu'« indépendants » veut dire « ne peuvent pas arriver ensemble ». Ça, c'est incompatibles, une autre idée.
- Utiliser P(A)·P(B) pour des tirages sans remise. Le second tirage dépend du premier ; utilise P(A)·P(B|A).