O que é probabilidade condicional?
Às vezes recebemos uma informação extra antes de chutar. Essa informação é um evento B que já aconteceu. Então todo resultado fora de B passa a ser impossível. B vira o novo espaço amostral (a lista de todos os resultados possíveis).
A chance de A dado B se escreve P(A|B). Leia a barra "|" como "dado".
P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B), com P(B) ≠ 0.
Quando os resultados têm a mesma chance, basta contar: P(A|B) = n(A ∩ B) ÷ n(B).
Propriedades da probabilidade condicional
- 0 ≤ P(A|B) ≤ 1, como qualquer probabilidade.
- P(S|B) = P(B|B) = 1: dentro do novo mundo, B é certo.
- P(A′|B) = 1 − P(A|B) (A′ quer dizer "não A").
- Para quaisquer A e C: P(A ∪ C | B) = P(A|B) + P(C|B) − P(A ∩ C | B).
- P(A|B) e P(B|A) geralmente são diferentes. O número de baixo da fração muda.
Regra do produto (teorema da multiplicação)
Multiplique os dois lados da definição por P(B). Você obtém a regra do produto:
P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B) = P(A) · P(B|A)
Use quando as coisas acontecem uma depois da outra, como tirar duas cartas sem devolver a primeira. Chance da primeira × chance da segunda, dada a primeira.
Para três eventos: P(A ∩ B ∩ C) = P(A) · P(B|A) · P(C|A ∩ B).
Eventos independentes
A e B são independentes se saber um não diz nada sobre o outro: P(A|B) = P(A) (e P(B|A) = P(B)).
Coloque isso na regra do produto e você tem o teste: P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
- Duas moedas diferentes, dois dados diferentes, sorteios com reposição → independentes.
- Sorteios sem reposição → geralmente dependentes.
- Se A e B são independentes, então A e B′, A′ e B, A′ e B′ também são.
- Três eventos só são independentes se todos os pares funcionam e P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C).
Independente não é o mesmo que mutuamente exclusivo
Mutuamente exclusivos quer dizer que A e B não podem acontecer juntos: P(A ∩ B) = 0. Independentes quer dizer que um não afeta o outro. Se os dois têm chance maior que zero, não podem ser as duas coisas: se A acontece, um B mutuamente exclusivo se torna impossível, ou seja, a notícia claramente mudou B.
Experimente em casa
Pegue 10 cartas numeradas de 1 a 10. Qual a chance de uma carta ser maior que 6? É 4/10. Agora um amigo espia e diz "é par". Tire as cartas ímpares. Sobram 2, 4, 6, 8, 10, e 8 e 10 são maiores que 6: 2/5. O mesmo número 0.4! Então "maior que 6" e "par" são independentes aqui. Tente "maior que 5" e veja a chance mudar.
Fórmulas e definições principais
- P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), P(B) ≠ 0
- P(A|B) = n(A ∩ B) / n(B) (resultados com a mesma chance)
- P(A′|B) = 1 − P(A|B)
- P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)
- P(A ∩ B ∩ C) = P(A)·P(B|A)·P(C|A ∩ B)
- Independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Exemplos resolvidos
1. P(A) = 0.6, P(B) = 0.5 e P(A ∩ B) = 0.2. Calcule P(A|B) e P(B|A).
Passo 1: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0.2/0.5 = 0.4. Passo 2: P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A) = 0.2/0.6 = 1/3. Observe: as duas respostas são diferentes.
2. Dois dados honestos são lançados. Calcule a chance de a soma ser 8, dado que o primeiro dado mostra um número par.
Passo 1: B = primeiro dado par → 3 × 6 = 18 resultados. Passo 2: A ∩ B = (2,6), (4,4), (6,2) → 3 resultados. Passo 3: P(A|B) = 3/18 = 1/6.
3. Uma família tem dois filhos. Dado que pelo menos um é menina, qual a chance de as duas serem meninas?
Passo 1: Todos os casos: MM, MH, HM, HH (M = menina, H = menino; todos com a mesma chance). Passo 2: B = pelo menos uma menina → MM, MH, HM (3 casos). Passo 3: A ∩ B = MM (1 caso). Passo 4: P = 1/3 (e não 1/2!).
4. Uma caixa tem 5 canetas vermelhas e 3 azuis. Duas canetas são tiradas uma depois da outra, sem devolver. Calcule a chance de as duas serem vermelhas.
Passo 1: P(primeira vermelha) = 5/8. Passo 2: Agora restam 4 vermelhas em 7: P(segunda vermelha | primeira vermelha) = 4/7. Passo 3: Regra do produto: 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14.
5. Três cartas são tiradas uma a uma, sem reposição, de um baralho de 52. Calcule a chance de as três serem reis.
Passo 1: P(R1) = 4/52. Passo 2: P(R2 | R1) = 3/51. Passo 3: P(R3 | R1 ∩ R2) = 2/50. Passo 4: Multiplique: 4/52 × 3/51 × 2/50 = 24/132600 = 1/5525.
6. Um dado é lançado. E = "múltiplo de 3", F = "par". E e F são independentes?
Passo 1: E = {3, 6}, P(E) = 1/3. F = {2, 4, 6}, P(F) = 1/2. Passo 2: E ∩ F = {6}, P(E ∩ F) = 1/6. Passo 3: P(E)·P(F) = 1/3 × 1/2 = 1/6 = P(E ∩ F). Logo, sim, são independentes.
7. A resolve um problema com chance 1/2 e B com chance 1/3, cada um trabalhando sozinho (independentes). Calcule a chance de o problema ser resolvido.
Passo 1: P(A erra) = 1/2, P(B erra) = 2/3. Passo 2: Os dois erram (independentes): 1/2 × 2/3 = 1/3. Passo 3: Resolvido = 1 − 1/3 = 2/3.
8. P(A) = 0.3, P(B) = 0.4, e A, B são independentes. Calcule P(A ∪ B) e P(A′ ∩ B′).
Passo 1: P(A ∩ B) = 0.3 × 0.4 = 0.12. Passo 2: P(A ∪ B) = 0.3 + 0.4 − 0.12 = 0.58. Passo 3: P(A′ ∩ B′) = 1 − P(A ∪ B) = 0.42 (conferindo: 0.7 × 0.6 = 0.42 ✓).
Erros comuns
- Confundir P(A|B) com P(B|A). O evento depois da barra é o que você já sabe; ele vai no denominador.
- Dividir pelo espaço amostral inteiro depois de saber B. Dado B, conte só dentro de B.
- Achar que "independente" quer dizer "não podem acontecer juntos". Isso é mutuamente exclusivo, outra ideia.
- Usar P(A)·P(B) em sorteios sem reposição. O segundo sorteio depende do primeiro; use P(A)·P(B|A).