¿Qué es la probabilidad condicionada?
A veces recibimos una pista antes de adivinar. La pista es un suceso B que ya ha ocurrido. Entonces todos los resultados fuera de B son imposibles. B pasa a ser el nuevo espacio muestral (la lista de todos los resultados posibles).
La probabilidad de A dado B se escribe P(A|B). La barra "|" se lee "dado" o "sabiendo que".
P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B), donde P(B) ≠ 0.
Si los resultados son igual de probables, basta con contar: P(A|B) = n(A ∩ B) ÷ n(B).
Propiedades de la probabilidad condicionada
- 0 ≤ P(A|B) ≤ 1, como cualquier probabilidad.
- P(S|B) = P(B|B) = 1: dentro del nuevo mundo, B es seguro.
- P(A′|B) = 1 − P(A|B) (A′ significa "no A").
- Para cualesquiera A y C: P(A ∪ C | B) = P(A|B) + P(C|B) − P(A ∩ C | B).
- P(A|B) y P(B|A) suelen ser distintas. Cambia el denominador de la fracción.
Regla del producto de probabilidades
Multiplica los dos lados de la definición por P(B) y obtendrás la regla del producto:
P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B) = P(A) · P(B|A)
Úsala cuando las cosas ocurren una detrás de otra, como sacar dos cartas sin devolver la primera. Es la probabilidad de la primera por la probabilidad de la segunda, sabiendo la primera.
Para tres sucesos: P(A ∩ B ∩ C) = P(A) · P(B|A) · P(C|A ∩ B).
Sucesos independientes
A y B son independientes si saber uno no te dice nada del otro: P(A|B) = P(A) (y P(B|A) = P(B)).
Si lo metes en la regla del producto, sale la prueba: P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
- Dos monedas distintas, dos dados distintos, extracciones con devolución → independientes.
- Extracciones sin devolución → normalmente dependientes.
- Si A y B son independientes, también lo son A y B′, A′ y B, A′ y B′.
- Tres sucesos son independientes solo si funciona cada pareja y además P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C).
Independientes no es lo mismo que incompatibles
Incompatibles (o mutuamente excluyentes) significa que A y B no pueden ocurrir a la vez: P(A ∩ B) = 0. Independientes significa que no se afectan entre sí. Si los dos tienen probabilidad distinta de cero, no pueden ser ambas cosas: si ocurre A, un B incompatible pasa a ser imposible, así que la noticia sí cambió B.
Pruébalo en casa
Toma un mazo de 10 cartas: del 1 al 10. Adivina la probabilidad de que una carta sea mayor que 6 (es 4/10). Ahora un amigo la mira y dice "es par". Quita las cartas impares. Solo quedan 2, 4, 6, 8 y 10, y de ellas 8 y 10 son mayores que 6: 2/5. ¡El mismo número, 0,4! Así que "mayor que 6" y "par" son independientes aquí. Prueba con "mayor que 5" y verás cómo cambia la probabilidad.
Fórmulas y definiciones clave
- P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), P(B) ≠ 0
- P(A|B) = n(A ∩ B) / n(B) (resultados igual de probables)
- P(A′|B) = 1 − P(A|B)
- P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)
- P(A ∩ B ∩ C) = P(A)·P(B|A)·P(C|A ∩ B)
- Independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Ejemplos resueltos
1. P(A) = 0.6, P(B) = 0.5 y P(A ∩ B) = 0.2. Calcula P(A|B) y P(B|A).
Paso 1: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0.2/0.5 = 0.4. Paso 2: P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A) = 0.2/0.6 = 1/3. Ojo: las dos respuestas son distintas.
2. Se lanzan dos dados equilibrados. Calcula la probabilidad de que la suma sea 8, sabiendo que el primer dado muestra un número par.
Paso 1: B = primer dado par → 3 × 6 = 18 resultados. Paso 2: A ∩ B = (2,6), (4,4), (6,2) → 3 resultados. Paso 3: P(A|B) = 3/18 = 1/6.
3. Una familia tiene dos hijos. Sabiendo que al menos uno es niña, ¿cuál es la probabilidad de que los dos sean niñas?
Paso 1: Todos los casos: GG, GB, BG, BB (igual de probables; G = niña, B = niño). Paso 2: B = al menos una niña → GG, GB, BG (3 casos). Paso 3: A ∩ B = GG (1 caso). Paso 4: P = 1/3 (¡no 1/2!).
4. Una caja tiene 5 bolígrafos rojos y 3 azules. Se sacan dos, uno tras otro, sin devolver el primero. Calcula la probabilidad de que los dos sean rojos.
Paso 1: P(primero rojo) = 5/8. Paso 2: Ahora quedan 4 rojos de 7: P(segundo rojo | primero rojo) = 4/7. Paso 3: Regla del producto: 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14.
5. Se sacan tres cartas una a una, sin devolverlas, de una baraja de 52. Calcula la probabilidad de que las tres sean reyes.
Paso 1: P(K1) = 4/52. Paso 2: P(K2 | K1) = 3/51. Paso 3: P(K3 | K1 ∩ K2) = 2/50. Paso 4: Multiplica: 4/52 × 3/51 × 2/50 = 24/132600 = 1/5525.
6. Se lanza un dado. E = "múltiplo de 3", F = "par". ¿Son E y F independientes?
Paso 1: E = {3, 6}, P(E) = 1/3. F = {2, 4, 6}, P(F) = 1/2. Paso 2: E ∩ F = {6}, P(E ∩ F) = 1/6. Paso 3: P(E)·P(F) = 1/3 × 1/2 = 1/6 = P(E ∩ F). Así que sí, son independientes.
7. A resuelve un problema con probabilidad 1/2 y B con probabilidad 1/3, cada uno por su lado (independientes). Calcula la probabilidad de que el problema se resuelva.
Paso 1: P(A falla) = 1/2, P(B falla) = 2/3. Paso 2: Fallan los dos (independientes): 1/2 × 2/3 = 1/3. Paso 3: Se resuelve = 1 − 1/3 = 2/3.
8. P(A) = 0.3, P(B) = 0.4, y A y B son independientes. Calcula P(A ∪ B) y P(A′ ∩ B′).
Paso 1: P(A ∩ B) = 0.3 × 0.4 = 0.12. Paso 2: P(A ∪ B) = 0.3 + 0.4 − 0.12 = 0.58. Paso 3: P(A′ ∩ B′) = 1 − P(A ∪ B) = 0.42 (comprobación: 0.7 × 0.6 = 0.42 ✓).
Errores comunes
- Confundir P(A|B) con P(B|A). El suceso que va después de la barra es el que ya conoces; va en el denominador.
- Dividir por todo el espacio muestral después de saber B. Dado B, cuenta solo dentro de B.
- Pensar que "independiente" significa "no pueden ocurrir a la vez". Eso es incompatible, otra idea distinta.
- Usar P(A)·P(B) en extracciones sin devolución. La segunda extracción depende de la primera; usa P(A)·P(B|A).