Razón de cambio de las cantidades
Si y depende de x, entonces dy/dx es la razón de cambio de y respecto a x. En x = a escribimos (dy/dx) en a, o f′(a).
Si x e y cambian con el tiempo t, usamos la regla de la cadena: dy/dt = (dy/dx) × (dx/dt).
Ejemplo: el radio de un círculo crece a 0.5 cm/s. El área es A = πr², así que dA/dt = 2πr × dr/dt. Cuando r = 4 cm, dA/dt = 2π(4)(0.5) = 4π cm²/s.
El costo marginal y el ingreso marginal en economía también son derivadas: lo que cambia el costo o el ingreso al producir un artículo más.
Funciones crecientes y decrecientes
En un intervalo donde f es derivable:
- f′(x) > 0 para todo x → f es estrictamente creciente (la gráfica sube de izquierda a derecha).
- f′(x) < 0 para todo x → f es estrictamente decreciente.
- f′(x) = 0 para todo x → f es constante.
Cómo hallar los intervalos
- Calcula f′(x) y resuelve f′(x) = 0.
- Esos puntos dividen la recta numérica en intervalos.
- Prueba el signo de f′ en cada intervalo.
Para f(x) = x³ − 3x: f′ = 3(x − 1)(x + 1). Es creciente en (−∞, −1) y en (1, ∞), y decreciente en (−1, 1).
Máximos y mínimos
Un máximo local es un punto más alto que todos los puntos cercanos; un mínimo local es más bajo que todos los puntos cercanos. En un punto así (si la función es suave allí) f′(c) = 0. Los puntos con f′(c) = 0 o con f′ no definida se llaman puntos críticos.
Criterio de la primera derivada
- f′ cambia de + a − en c → máximo local.
- f′ cambia de − a + en c → mínimo local.
- Sin cambio de signo → ninguno de los dos (un punto de inflexión, como x³ en 0).
Criterio de la segunda derivada
- f′(c) = 0 y f″(c) < 0 → máximo local.
- f′(c) = 0 y f″(c) > 0 → mínimo local.
- f″(c) = 0 → el criterio falla; vuelve al criterio de la primera derivada.
Máximo y mínimo absolutos (globales) en [a, b]
Busca todos los puntos críticos dentro de [a, b] y calcula f en ellos y en los extremos a y b. El valor mayor es el máximo absoluto y el menor es el mínimo absoluto.
Problemas de la vida real
- Nombra la cantidad que quieres hacer mayor o menor (volumen, área, costo).
- Escríbela con una sola variable usando la condición dada.
- Deriva, iguala la derivada a 0 y resuelve.
- Usa el criterio de la segunda derivada (o de la primera) para confirmar si es máximo o mínimo.
- Responde la pregunta con sus unidades.
Ejemplo de la caja: V = x(12 − 2x)², dV/dx = 12(x − 2)(x − 6). Con x = 6 no hay caja, así que x = 2; V″(2) = −48 < 0, un máximo de 128 cm³.
Fórmulas y definiciones clave
- Razón de cambio: dy/dx; razones relacionadas dy/dt = (dy/dx)(dx/dt)
- f′(x) > 0 → creciente, f′(x) < 0 → decreciente
- Punto crítico: f′(c) = 0 o f′(c) no existe
- Primera derivada: + → − máx, − → + mín
- Segunda derivada: f″(c) < 0 máx, f″(c) > 0 mín
Ejemplos resueltos
1. El lado de un cuadrado crece a 3 cm/s. ¿Qué tan rápido crece su área cuando el lado mide 10 cm?
A = x², dA/dt = 2x·dx/dt = 2(10)(3) = 60 cm²/s.
2. El radio de un globo aumenta a 2 cm/s. Halla la razón de cambio del volumen cuando r = 5 cm.
V = (4/3)πr³, dV/dt = 4πr²·dr/dt = 4π(25)(2) = 200π cm³/s.
3. El costo de fabricar x artículos es C(x) = 0.5x² + 10x + 100. Halla el costo marginal cuando x = 20.
C′(x) = x + 10. C′(20) = 30. Fabricar el artículo número 21 cuesta unos ₹30 más.
4. Halla los intervalos donde f(x) = x² − 4x + 1 es creciente o decreciente.
f′(x) = 2x − 4 = 0 en x = 2. Para x < 2, f′ < 0 (decreciente); para x > 2, f′ > 0 (creciente).
5. Halla los máximos y mínimos locales de f(x) = 2x³ − 9x² + 12x + 1.
f′ = 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2) = 0 → x = 1, 2. f″ = 12x − 18. f″(1) = −6 < 0 → máximo local f(1) = 6. f″(2) = 6 > 0 → mínimo local f(2) = 5.
6. Halla el máximo y el mínimo absolutos de f(x) = x³ − 3x en [0, 3].
Punto crítico dentro del intervalo: x = 1 (x = −1 queda fuera). f(0) = 0, f(1) = −2, f(3) = 18. Máximo absoluto 18 en x = 3, mínimo absoluto −2 en x = 1.
7. Dos números positivos suman 20. Hállalos para que su producto sea el mayor posible.
Los números son x y 20 − x. P = 20x − x². P′ = 20 − 2x = 0 → x = 10. P″ = −2 < 0 → máximo. Los números son 10 y 10, el producto es 100.
8. Un rectángulo tiene perímetro 40 m. Demuestra que su área es la mayor cuando es un cuadrado.
Los lados son x y 20 − x, A = 20x − x², A′ = 20 − 2x = 0 → x = 10, A″ = −2 < 0. Ambos lados miden 10 m: un cuadrado de área 100 m².
Errores comunes
- Creer que f′(c) = 0 siempre significa máximo o mínimo. En x³ en 0 la pendiente es 0, pero la curva sigue subiendo.
- Olvidar revisar los extremos del intervalo al buscar el máximo o mínimo absoluto en un intervalo cerrado.
- En los problemas con texto, derivar antes de escribir la cantidad con una sola variable.
- Mezclar unidades en las razones de cambio: si r está en cm y el tiempo en s, la respuesta va en cm²/s o cm³/s.