¿Qué es una ecuación cuadrática? (forma general)
Una ecuación cuadrática es una ecuación en la que la mayor potencia de x es 2. "Cuadrática" viene de cuadrado.
Su forma general es ax² + bx + c = 0. Aquí a, b y c son números reales y a ≠ 0. Si a fuera 0, desaparecería la parte con x² y sería una ecuación lineal.
Primero pasa todos los términos a un lado. Ejemplo: 2x² = 3x − 1 se convierte en 2x² − 3x + 1 = 0, así que a = 2, b = −3, c = 1.
Un número que hace verdadera la ecuación se llama raíz (o solución). Una ecuación cuadrática tiene como máximo dos raíces.
Cómo saber si una ecuación es cuadrática
Quita los paréntesis y simplifica. Si la mayor potencia de x que queda es 2, es cuadrática. Cuidado: (x + 1)² = x² + 3 se simplifica a 2x − 2 = 0, que no es cuadrática, porque la x² se cancela.
Resolver por factorización (dividiendo el término central)
Para ax² + bx + c = 0, busca dos números que multiplicados den a × c y sumados den b. Divide el término central en esos dos, agrupa y saca factor común.
Ejemplo: x² + 5x + 6 = 0. Necesitamos dos números con producto 6 y suma 5: son 2 y 3.
x² + 2x + 3x + 6 = 0 → x(x + 2) + 3(x + 2) = 0 → (x + 2)(x + 3) = 0.
Si dos números multiplicados dan 0, al menos uno de ellos es 0. Entonces x + 2 = 0 o x + 3 = 0, y así x = −2 o x = −3.
Las teselas 3D muestran por qué funciona: las piezas de x² + 5x + 6 encajan exactamente en un rectángulo de lados (x + 2) y (x + 3).
Resolver con la fórmula general
Algunas ecuaciones no se factorizan fácilmente. La fórmula general siempre funciona:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
Pasos: (1) escribe a, b y c con sus signos; (2) calcula D = b² − 4ac; (3) si D ≥ 0, calcula √D; (4) sustituye los valores en la fórmula, una vez con + y otra con −.
¿De dónde sale la fórmula?
Sale de completar el cuadrado. Divide entre a: x² + (b/a)x + c/a = 0. Suma y resta (b/2a)²: (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/4a². Saca la raíz cuadrada en ambos lados: x + b/2a = ±√(b² − 4ac)/2a. Pasa b/2a al otro lado y obtienes la fórmula. El ± aparece porque un número positivo y uno negativo dan el mismo cuadrado.
Discriminante y naturaleza de las raíces
La parte que está bajo la raíz, D = b² − 4ac, se llama discriminante. "Discriminar" aquí significa "distinguir": D nos dice qué tipo de raíces tenemos sin resolver la ecuación.
- D > 0: dos raíces reales distintas. La curva corta el eje x en dos puntos.
- D = 0: dos raíces reales iguales, x = −b/2a. La curva solo toca el eje x.
- D < 0: no hay raíces reales, porque ningún número real al cuadrado es negativo. La curva queda lejos del eje x.
Una pregunta típica de examen: "Halla k para que kx² + 6x + 1 = 0 tenga raíces iguales." Pon D = 0: 36 − 4k = 0, así que k = 9.
Problemas con texto sobre ecuaciones cuadráticas
Cuatro pasos convierten cualquier historia en una ecuación cuadrática:
- Nombra la incógnita: sea x (di qué significa x y su unidad).
- Escribe las demás cantidades usando x.
- Forma la ecuación con la condición del problema y llévala a ax² + bx + c = 0.
- Resuelve y comprueba: descarta las respuestas que no tengan sentido (una longitud, una edad o una velocidad negativas).
Tipos habituales: área de un rectángulo, números consecutivos, edades, velocidad y tiempo (trenes, barcos en una corriente) y trabajo hecho por dos personas.
Pruébalo: el rompecabezas de teselas en casa
Recorta en papel 1 cuadrado grande (lado de 5 cm), 5 tiras (5 cm × 1 cm) y 6 cuadraditos (1 cm). Representan x², 5x y 6. Intenta colocar las 12 piezas formando un solo rectángulo. Mide sus lados: uno mide x + 2 y el otro x + 3. Ahora prueba con x² + 7x + 12 (7 tiras, 12 cuadraditos). ¿Qué rectángulo obtienes?
En el 3D de arriba, ve al último paso y predice primero: con a = 1, b = 4, c = 4, ¿cuántas veces cortará la curva al eje x? Después mueve los deslizadores y compruébalo.
Qué se pregunta en el examen
Este tema forma parte de la unidad de Álgebra (unos 20 puntos). Se suele pedir: comprobar si una ecuación es cuadrática (1 punto), hallar k para raíces iguales o la naturaleza de las raíces (2 puntos), resolver por factorización o fórmula (2–3 puntos) y un problema con texto (3–5 puntos, casi siempre de velocidad o área).
Fórmulas y definiciones clave
- Forma general: ax² + bx + c = 0, a ≠ 0
- Fórmula general: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
- Discriminante: D = b² − 4ac
- D > 0: dos raíces reales distintas; D = 0: dos raíces iguales x = −b/2a; D < 0: ninguna raíz real
- Dividir el término central: busca p, q con p × q = a × c y p + q = b
Ejemplos resueltos
1. ¿Es (x − 2)² + 1 = 2x − 3 una ecuación cuadrática?
Desarrolla el paréntesis: x² − 4x + 4 + 1 = 2x − 3. Pasa todos los términos a la izquierda: x² − 6x + 8 = 0. La mayor potencia es 2 y a = 1 ≠ 0, así que sí, es cuadrática.
2. Resuelve x² − 7x + 12 = 0 por factorización.
Necesitamos dos números con producto 12 y suma −7: −3 y −4. x² − 3x − 4x + 12 = 0 → x(x − 3) − 4(x − 3) = 0 → (x − 3)(x − 4) = 0. Entonces x = 3 o x = 4.
3. Resuelve 2x² + x − 6 = 0 por factorización.
a × c = 2 × (−6) = −12. Dos números con producto −12 y suma 1: 4 y −3. 2x² + 4x − 3x − 6 = 0 → 2x(x + 2) − 3(x + 2) = 0 → (x + 2)(2x − 3) = 0. Entonces x = −2 o x = 3/2.
4. Resuelve x² − 2x − 3 = 0 con la fórmula general.
a = 1, b = −2, c = −3. D = (−2)² − 4(1)(−3) = 4 + 12 = 16, √D = 4. x = (2 ± 4)/2. Entonces x = 6/2 = 3 o x = −2/2 = −1.
5. Halla la naturaleza de las raíces de 3x² − 4x + 2 = 0.
D = (−4)² − 4(3)(2) = 16 − 24 = −8. Como D < 0, la ecuación no tiene raíces reales.
6. Halla k para que x² − kx + 9 = 0 tenga dos raíces iguales.
Para raíces iguales D = 0: (−k)² − 4(1)(9) = 0 → k² = 36 → k = 6 o k = −6.
7. El largo de un jardín rectangular mide 4 m más que su ancho. Su área es 96 m². Halla sus lados.
Sea el ancho = x m y el largo = x + 4 m. x(x + 4) = 96 → x² + 4x − 96 = 0 → (x + 12)(x − 8) = 0 → x = 8 o x = −12. El ancho no puede ser negativo, así que el ancho = 8 m y el largo = 12 m.
8. Un tren recorre 360 km a velocidad constante. Si su velocidad fuera 10 km/h mayor, tardaría 3 horas menos. Halla su velocidad.
Sea la velocidad = x km/h. Tiempo = 360/x. Entonces 360/x − 360/(x + 10) = 3. Multiplica por x(x + 10): 360(x + 10) − 360x = 3x(x + 10) → 3600 = 3x² + 30x → x² + 10x − 1200 = 0 → (x + 40)(x − 30) = 0. La velocidad no puede ser negativa, así que la velocidad es 30 km/h.
Errores comunes
- Olvidar pasar todos los términos a un lado antes de leer a, b y c. En x² = 5x − 6, b es −5 y c es 6, no 5 y −6.
- Perder el signo de b en la fórmula. Si b = −3, entonces −b = +3 y b² = 9 (no −9).
- Dividir ambos lados entre x. Así se pierde la raíz x = 0. Mejor saca x como factor común.
- Dejar respuestas imposibles en los problemas con texto, como una longitud o una edad negativas. Comprueba siempre y descártalas.