Taxa de variação das grandezas
Se y depende de x, então dy/dx é a taxa de variação de y em relação a x. Em x = a escrevemos (dy/dx) em a, ou f′(a).
Se x e y mudam com o tempo t, usamos a regra da cadeia: dy/dt = (dy/dx) × (dx/dt).
Exemplo: o raio de um círculo cresce a 0,5 cm/s. A área é A = πr², então dA/dt = 2πr × dr/dt. Quando r = 4 cm, dA/dt = 2π(4)(0,5) = 4π cm²/s.
Custo marginal e receita marginal, na economia, também são derivadas: a mudança no custo ou na receita ao produzir mais um item.
Funções crescentes e decrescentes
Num intervalo em que f é derivável:
- f′(x) > 0 para todo x → f é estritamente crescente (o gráfico sobe da esquerda para a direita).
- f′(x) < 0 para todo x → f é estritamente decrescente.
- f′(x) = 0 para todo x → f é constante.
Como achar os intervalos
- Calcule f′(x) e resolva f′(x) = 0.
- Esses pontos dividem a reta em intervalos.
- Teste o sinal de f′ em cada intervalo.
Para f(x) = x³ − 3x: f′ = 3(x − 1)(x + 1). Crescente em (−∞, −1) e (1, ∞), decrescente em (−1, 1).
Máximos e mínimos
Um máximo local é um ponto mais alto que todos os pontos vizinhos; um mínimo local é mais baixo que todos os vizinhos. Num ponto assim (se a função é suave ali) f′(c) = 0. Pontos com f′(c) = 0 ou com f′ não definida são chamados de pontos críticos.
Teste da primeira derivada
- f′ muda de + para − em c → máximo local.
- f′ muda de − para + em c → mínimo local.
- Sem mudança de sinal → nenhum dos dois (ponto de inflexão, como x³ em 0).
Teste da segunda derivada
- f′(c) = 0 e f″(c) < 0 → máximo local.
- f′(c) = 0 e f″(c) > 0 → mínimo local.
- f″(c) = 0 → o teste falha; volte ao teste da primeira derivada.
Máximo e mínimo absolutos (globais) em [a, b]
Ache todos os pontos críticos dentro de [a, b] e calcule f neles e nas extremidades a e b. O maior valor é o máximo absoluto, o menor é o mínimo absoluto.
Problemas do dia a dia
- Dê nome à grandeza que deve ser a maior ou a menor (volume, área, custo).
- Escreva-a em função de uma só variável usando a condição dada.
- Derive, iguale a derivada a 0 e resolva.
- Use o teste da segunda derivada (ou da primeira) para confirmar se é máximo ou mínimo.
- Responda à pergunta com a unidade.
Exemplo da caixa: V = x(12 − 2x)², dV/dx = 12(x − 2)(x − 6). x = 6 não forma caixa, então x = 2; V″(2) = −48 < 0, um máximo de 128 cm³.
Fórmulas e definições principais
- Taxa de variação: dy/dx; taxas relacionadas dy/dt = (dy/dx)(dx/dt)
- f′(x) > 0 → crescente, f′(x) < 0 → decrescente
- Ponto crítico: f′(c) = 0 ou f′(c) não existe
- Teste da primeira derivada: + → − máx, − → + mín
- Teste da segunda derivada: f″(c) < 0 máx, f″(c) > 0 mín
Exemplos resolvidos
1. O lado de um quadrado cresce a 3 cm/s. Com que rapidez cresce a área quando o lado mede 10 cm?
A = x², dA/dt = 2x·dx/dt = 2(10)(3) = 60 cm²/s.
2. O raio de um balão aumenta a 2 cm/s. Ache a taxa de variação do volume quando r = 5 cm.
V = (4/3)πr³, dV/dt = 4πr²·dr/dt = 4π(25)(2) = 200π cm³/s.
3. O custo de fazer x itens é C(x) = 0.5x² + 10x + 100. Ache o custo marginal quando x = 20.
C′(x) = x + 10. C′(20) = 30. Fazer o 21.º item custa cerca de ₹30 a mais.
4. Ache os intervalos em que f(x) = x² − 4x + 1 é crescente ou decrescente.
f′(x) = 2x − 4 = 0 em x = 2. Para x < 2, f′ < 0 (decrescente); para x > 2, f′ > 0 (crescente).
5. Ache os máximos e mínimos locais de f(x) = 2x³ − 9x² + 12x + 1.
f′ = 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2) = 0 → x = 1, 2. f″ = 12x − 18. f″(1) = −6 < 0 → máximo local f(1) = 6. f″(2) = 6 > 0 → mínimo local f(2) = 5.
6. Ache o máximo e o mínimo absolutos de f(x) = x³ − 3x em [0, 3].
Ponto crítico dentro do intervalo: x = 1 (x = −1 está fora). f(0) = 0, f(1) = −2, f(3) = 18. Máximo absoluto 18 em x = 3, mínimo absoluto −2 em x = 1.
7. Dois números positivos somam 20. Ache-os para que o produto seja o maior possível.
Os números são x e 20 − x. P = 20x − x². P′ = 20 − 2x = 0 → x = 10. P″ = −2 < 0 → máximo. Números 10 e 10, produto 100.
8. Um retângulo tem perímetro 40 m. Mostre que a área é máxima quando ele é um quadrado.
Lados x e 20 − x, A = 20x − x², A′ = 20 − 2x = 0 → x = 10, A″ = −2 < 0. Os dois lados medem 10 m: um quadrado de área 100 m².
Erros comuns
- Achar que f′(c) = 0 sempre indica máximo ou mínimo. Em x³, na origem, a inclinação é 0, mas a curva continua subindo.
- Esquecer de verificar as extremidades ao buscar o máximo ou o mínimo absoluto num intervalo fechado.
- Em problemas de texto, derivar antes de escrever a grandeza com uma só variável.
- Misturar unidades nas taxas: se r está em cm e o tempo em s, a resposta sai em cm²/s ou cm³/s.