Änderungsrate von Größen
Wenn y von x abhängt, ist dy/dx die Änderungsrate von y bezüglich x. An der Stelle x = a schreiben wir (dy/dx) bei a oder f′(a).
Ändern sich x und y beide mit der Zeit t, nutzen wir die Kettenregel: dy/dt = (dy/dx) × (dx/dt).
Beispiel: Der Radius eines Kreises wächst mit 0.5 cm/s. Die Fläche ist A = πr², also dA/dt = 2πr × dr/dt. Bei r = 4 cm ist dA/dt = 2π(4)(0.5) = 4π cm²/s.
Auch Grenzkosten und Grenzerlös in der Wirtschaft sind Ableitungen: die Änderung von Kosten oder Erlös für einen weiteren Artikel.
Wachsende und fallende Funktionen
Auf einem Intervall, in dem f differenzierbar ist, gilt:
- f′(x) > 0 für alle x → f ist streng monoton wachsend (der Graph steigt von links nach rechts).
- f′(x) < 0 für alle x → f ist streng monoton fallend.
- f′(x) = 0 für alle x → f ist konstant.
So findest du die Intervalle
- Bilde f′(x) und löse f′(x) = 0.
- Diese Punkte teilen die Zahlengerade in Intervalle.
- Prüfe das Vorzeichen von f′ in jedem Intervall.
Für f(x) = x³ − 3x: f′ = 3(x − 1)(x + 1). Wachsend auf (−∞, −1) und (1, ∞), fallend auf (−1, 1).
Maxima und Minima
Ein lokales Maximum ist ein Punkt, der höher liegt als alle Punkte in seiner Nähe; ein lokales Minimum liegt tiefer als alle Punkte in seiner Nähe. An so einem Punkt gilt (wenn die Funktion dort glatt ist) f′(c) = 0. Punkte mit f′(c) = 0 oder mit nicht definiertem f′ heißen kritische Stellen.
Test mit der ersten Ableitung
- f′ wechselt bei c von + nach − → lokales Maximum.
- f′ wechselt bei c von − nach + → lokales Minimum.
- Kein Vorzeichenwechsel → weder noch (ein Wendepunkt, wie x³ bei 0).
Test mit der zweiten Ableitung
- f′(c) = 0 und f″(c) < 0 → lokales Maximum.
- f′(c) = 0 und f″(c) > 0 → lokales Minimum.
- f″(c) = 0 → der Test sagt nichts aus; gehe zurück zum Test mit der ersten Ableitung.
Absolutes (globales) Maximum und Minimum auf [a, b]
Finde alle kritischen Stellen in [a, b], berechne f an diesen Stellen und an den Rändern a und b. Der größte Wert ist das absolute Maximum, der kleinste das absolute Minimum.
Aufgaben aus dem Alltag
- Benenne die Größe, die am größten oder kleinsten werden soll (Volumen, Fläche, Kosten).
- Schreibe sie mithilfe der gegebenen Bedingung mit einer Variablen.
- Leite ab, setze die Ableitung gleich 0 und löse.
- Prüfe mit der zweiten (oder ersten) Ableitung, ob es ein Maximum oder Minimum ist.
- Beantworte die Frage mit Einheit.
Schachtel-Beispiel: V = x(12 − 2x)², dV/dx = 12(x − 2)(x − 6). x = 6 ergibt keine Schachtel, also x = 2; V″(2) = −48 < 0, ein Maximum von 128 cm³.
Wichtige Formeln und Definitionen
- Änderungsrate: dy/dx; verbundene Raten dy/dt = (dy/dx)(dx/dt)
- f′(x) > 0 → wachsend, f′(x) < 0 → fallend
- Kritische Stelle: f′(c) = 0 oder f′(c) nicht definiert
- Test mit f′: + → − Maximum, − → + Minimum
- Test mit f″: f″(c) < 0 Maximum, f″(c) > 0 Minimum
Gelöste Beispiele
1. Die Seite eines Quadrats wächst mit 3 cm/s. Wie schnell wächst die Fläche, wenn die Seite 10 cm lang ist?
A = x², dA/dt = 2x·dx/dt = 2(10)(3) = 60 cm²/s.
2. Der Radius eines Ballons wächst mit 2 cm/s. Bestimme die Änderungsrate des Volumens bei r = 5 cm.
V = (4/3)πr³, dV/dt = 4πr²·dr/dt = 4π(25)(2) = 200π cm³/s.
3. Die Kosten für x Artikel sind C(x) = 0.5x² + 10x + 100. Bestimme die Grenzkosten bei x = 20.
C′(x) = x + 10. C′(20) = 30. Der 21. Artikel kostet etwa ₹30 mehr.
4. Bestimme die Intervalle, in denen f(x) = x² − 4x + 1 wächst oder fällt.
f′(x) = 2x − 4 = 0 bei x = 2. Für x < 2 ist f′ < 0 (fallend); für x > 2 ist f′ > 0 (wachsend).
5. Bestimme die lokalen Maxima und Minima von f(x) = 2x³ − 9x² + 12x + 1.
f′ = 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2) = 0 → x = 1, 2. f″ = 12x − 18. f″(1) = −6 < 0 → lokales Maximum f(1) = 6. f″(2) = 6 > 0 → lokales Minimum f(2) = 5.
6. Bestimme das absolute Maximum und Minimum von f(x) = x³ − 3x auf [0, 3].
Kritische Stelle im Intervall: x = 1 (x = −1 liegt außerhalb). f(0) = 0, f(1) = −2, f(3) = 18. Absolutes Maximum 18 bei x = 3, absolutes Minimum −2 bei x = 1.
7. Zwei positive Zahlen haben die Summe 20. Bestimme sie so, dass ihr Produkt am größten ist.
Die Zahlen sind x und 20 − x. P = 20x − x². P′ = 20 − 2x = 0 → x = 10. P″ = −2 < 0 → Maximum. Die Zahlen sind 10 und 10, das Produkt ist 100.
8. Ein Rechteck hat den Umfang 40 m. Zeige, dass seine Fläche am größten ist, wenn es ein Quadrat ist.
Seiten x und 20 − x, A = 20x − x², A′ = 20 − 2x = 0 → x = 10, A″ = −2 < 0. Beide Seiten 10 m: ein Quadrat mit der Fläche 100 m².
Häufige Fehler
- Zu denken, f′(c) = 0 bedeute immer ein Maximum oder Minimum. Bei x³ an der Stelle 0 ist die Steigung 0, aber die Kurve steigt weiter.
- Bei der Suche nach dem absoluten Maximum oder Minimum auf einem abgeschlossenen Intervall die Randpunkte zu vergessen.
- Bei Textaufgaben abzuleiten, bevor die Größe mit nur einer Variablen geschrieben ist.
- Einheiten bei Raten zu vermischen: Ist r in cm und die Zeit in s, dann ist das Ergebnis in cm²/s oder cm³/s.