Was ist eine lineare Funktion?
Eine Funktion ist eine Regel, die jedem Eingabewert genau einen Ausgabewert zuordnet. Die Eingabe nennen wir x, die Ausgabe y (oder f(x)).
Eine Funktion ist linear, wenn sich y immer um denselben Betrag ändert, sobald x um 1 größer wird. Diese feste Änderung heißt Änderungsrate.
Jede lineare Funktion lässt sich als y = mx + c schreiben. In deutschen Schulbüchern steht oft y = mx + n oder f(x) = mx + b. Das bedeutet alles dasselbe.
- Ist c = 0, heißt die Funktion y = mx. Ihre Gerade geht durch den Ursprung (0, 0). Das ist eine direkte Proportionalität.
- Ist c nicht 0, nennt man sie manchmal eine affine Funktion.
Tabelle, Graph und Funktionsgleichung
Eine lineare Funktion kann man auf vier Arten zeigen:
- Mit Worten: "Verdopple die Zahl und addiere dann 1".
- Als Regel: y = 2x + 1.
- Als Tabelle: x = 0, 1, 2, 3 ergibt y = 1, 3, 5, 7. Die y-Werte wachsen jedes Mal um 2.
- Als Graph: Zeichne (0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7) und verbinde die Punkte. Du erhältst eine Gerade.
Test an der Tabelle: Wenn x in gleichen Schritten wächst und die Unterschiede der y-Werte alle gleich sind, ist die Funktion linear.
Steigung und Achsenabschnitte
Die Steigung m
m = rise ÷ run = (Änderung von y) ÷ (Änderung von x) = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁).
- m > 0: Die Gerade steigt von links nach rechts (wachsend).
- m < 0: Die Gerade fällt (fallend).
- m = 0: Die Gerade ist waagerecht, y = c (eine konstante Funktion).
- Je größer |m|, desto steiler die Gerade.
Achsenabschnitte
y-Achsenabschnitt: Setze x = 0, dann ist y = c. Der Punkt ist (0, c).
x-Achsenabschnitt (die Nullstelle): Setze y = 0 und löse 0 = mx + c, also x = −c ÷ m.
Parallele Geraden
Geraden mit gleicher Steigung treffen sich nie: Sie sind parallel.
Die Gleichung finden und Textaufgaben lösen
Aus zwei Punkten: Berechne m mit der Steigungsformel und setze dann einen Punkt in y = mx + c ein, um c zu finden.
Aus einer Geschichte: Der feste Startbetrag ist c (Anfangswert); der Betrag pro Einheit ist m (Rate).
Linear oder nicht? y = 3x − 4 ist linear. y = x², y = 1/x und y = 2ˣ sind es nicht: Ihre Graphen sind gekrümmt und die Unterschiede der y-Werte sind nicht gleich.
Lösen: Willst du wissen, wann eine lineare Funktion einen bestimmten Wert erreicht, setze y gleich diesem Wert und löse die Gleichung. Zwei Geraden schneiden sich dort, wo beide Regeln dasselbe y liefern.
Wichtige Formeln und Definitionen
- y = mx + c (f(x) = mx + b)
- m = rise ÷ run = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
- y-Achsenabschnitt: (0, c)
- x-Achsenabschnitt: x = −c ÷ m
- Parallele Geraden: gleiches m
- Direkte Proportionalität: y = mx (c = 0)
Gelöste Beispiele
1. Erstelle für y = 3x − 2 eine Tabelle für x = 0, 1, 2, 3.
x = 0: y = −2. x = 1: y = 1. x = 2: y = 4. x = 3: y = 7. Die y-Werte wachsen jedes Mal um 3. Das ist die Steigung.
2. Bestimme Steigung und y-Achsenabschnitt von y = −4x + 9.
Vergleiche mit y = mx + c: m = −4 (die Gerade fällt), c = 9, also schneidet sie die y-Achse bei (0, 9).
3. Bestimme die Steigung der Geraden durch (1, 3) und (4, 12).
m = (12 − 3) ÷ (4 − 1) = 9 ÷ 3 = 3.
4. Bestimme die Gleichung der Geraden durch (2, 5) und (6, 13).
Schritt 1: m = (13 − 5) ÷ (6 − 2) = 8 ÷ 4 = 2. Schritt 2: Setze (2, 5) in y = 2x + c ein: 5 = 4 + c, also c = 1. Antwort: y = 2x + 1.
5. Bestimme den x-Achsenabschnitt von y = 4x − 10.
Setze y = 0: 0 = 4x − 10, also 4x = 10 und x = 2.5. Die Gerade schneidet die x-Achse bei (2.5, 0).
6. Ein Taxi verlangt 50 Grundgebühr plus 12 pro km. Stelle die Regel auf und berechne den Preis für 8 km. Wie weit kommst du für 170?
Preis y = 12x + 50. Für 8 km: 12 × 8 + 50 = 146. Für 170: 12x + 50 = 170, 12x = 120, x = 10 km.
7. Tarif A kostet 100 + 5 pro GB; Tarif B kostet 20 pro GB. Wann kosten sie gleich viel?
100 + 5x = 20x, also 100 = 15x und x ≈ 6.67 GB. Darunter ist B billiger, darüber ist A billiger.
Häufige Fehler
- Die Steigung als run ÷ rise schreiben. Richtig ist rise ÷ run: Die Änderung von y steht oben im Bruch.
- Die Reihenfolge vertauschen: (y₂ − y₁) ÷ (x₁ − x₂). Nimm beide Differenzen in derselben Reihenfolge.
- Denken, c sei die Stelle, an der die Gerade die x-Achse schneidet. c ist der y-Achsenabschnitt; der x-Achsenabschnitt ist −c ÷ m.
- y = x² linear nennen, nur weil x vorkommt. Eine lineare Regel hat x nur mit Hochzahl 1 und ergibt eine Gerade.