Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Was ist ein Paar linearer Gleichungen?

Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen sieht so aus: ax + by = c. Hier sind x und y unbekannte Zahlen (Variablen). a, b und c sind feste Zahlen, und a und b sind nicht beide null.

„Linear“ heißt: Ihr Graph ist eine gerade Linie. Eine einzelne solche Gleichung hat unendlich viele Lösungen. Zwei Gleichungen über dasselbe x und dasselbe y nennt man ein Paar (ein Gleichungssystem). Wir suchen das eine (x, y), das beide zugleich wahr macht.

Der Graph einer linearen Gleichung

Nimm eine Regel, zum Beispiel 2x + y = 6. Sie hat viele Lösungen. Jede Lösung ist ein Paar (x, y).

1. Wähle ein einfaches x, zum Beispiel 0. Dann ist y = 6. Punkt (0, 6).
2. Wähle x = 3. Dann ist y = 0. Punkt (3, 0).
3. Wähle zur Kontrolle noch x = 1. Dann ist y = 4. Punkt (1, 4).
4. Zeichne die Punkte ein und verbinde sie mit einem Lineal.

Alle Punkte liegen auf einer geraden Linie. Jeder Punkt auf der Linie ist eine Lösung. Ein Punkt neben der Linie ist keine Lösung. Schau dir Schritt 1 im 3D an: Die Punkte von x + y = 5 liegen alle in einer Reihe.

Besondere Geraden: x = 2 ist eine senkrechte Gerade. y = 3 ist eine waagerechte Gerade. y = 2x geht durch (0, 0).

Steigungsform: y = mx + c

Wir können jede Gerade (mit b ≠ 0) so umschreiben, dass y allein steht: y = mx + c.

• m ist die Steigung. Sie sagt, wie steil die Gerade ist. Wenn x um 1 größer wird, wächst y um m.
• c ist der y-Achsenabschnitt. Das ist die Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet, im Punkt (0, c).

Beispiel: 2x + y = 6 wird zu y = −2x + 6. Steigung −2: Die Gerade fällt um 2, wenn du 1 Schritt nach rechts gehst. Sie schneidet die y-Achse bei 6.

Warum das hilft: Zwei Geraden mit gleicher Steigung aber verschiedenem c sind parallel (keine Lösung). Gleiche Steigung und gleiches c heißt: dieselbe Gerade. Verschiedene Steigungen heißt: Die Geraden schneiden sich genau einmal. Ändere im Schritt „Freies Spiel“ die grüne Gerade und beobachte Steigung und Achsenabschnitt.

Grafisches Verfahren

Schritt 1. Mache für jede Gleichung eine kleine Wertetabelle: Wähle 2 oder 3 Werte für x und berechne y.

Schritt 2. Zeichne die Punkte und verbinde sie mit einem Lineal. Du erhältst zwei Geraden.

Schritt 3. Lies ab, wo sich die Geraden treffen. Dieser Punkt (x, y) ist die Lösung.

Beispiel: x + y = 5 liefert (0,5), (5,0). x − y = 1 liefert (1,0), (3,2). Die Geraden treffen sich in (3, 2), also x = 3, y = 2. Probiere es im 3D oben aus (Schritte 1 bis 3).

Drei mögliche Bilder: Lösbarkeit

• Die Geraden schneiden sich → genau eine Lösung. Das Paar ist lösbar (konsistent).
• Die Geraden sind parallel → keine Lösung. Das Paar ist unlösbar (inkonsistent).
• Die Geraden fallen zusammen (liegen aufeinander) → unendlich viele Lösungen. Das Paar ist lösbar und abhängig.

Verhältnistest ohne Zeichnen

Für a₁x + b₁y = c₁ und a₂x + b₂y = c₂ vergleichst du die Verhältnisse:

• a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ → die Geraden schneiden sich → eine Lösung.
• a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → parallel → keine Lösung.
• a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ → dieselbe Gerade → unendlich viele.

Warum? Wenn a und b im gleichen Verhältnis stehen, neigen sich die Geraden im gleichen Winkel (gleiche Steigung). Dann entscheidet c, ob es dieselbe Gerade ist oder nur zwei Geraden nebeneinander.

Einsetzungsverfahren

„Einsetzen“ heißt: etwas an die Stelle eines anderen setzen.

1. Schreibe aus einer Gleichung eine Variable mithilfe der anderen. Beispiel: x − y = 1 ergibt x = y + 1.
2. Setze das in die andere Gleichung ein: (y + 1) + y = 5, also 2y = 4, y = 2.
3. Setze y wieder ein: x = 2 + 1 = 3.
4. Prüfe in beiden Gleichungen: 3 + 2 = 5 ✓, 3 − 2 = 1 ✓.

Wenn die Variable verschwindet und etwas immer Wahres übrig bleibt (wie 0 = 0), gibt es unendlich viele Lösungen. Wenn etwas Falsches übrig bleibt (wie 0 = 3), gibt es keine Lösung.

Additionsverfahren (Elimination)

„Eliminieren“ heißt „entfernen“.

1. Multipliziere eine oder beide Gleichungen so, dass eine Variable dieselbe Zahl davor hat (gleicher Koeffizient).
2. Addiere oder subtrahiere die Gleichungen. Diese Variable verschwindet.
3. Löse die einfache Gleichung, die übrig bleibt.
4. Setze den Wert ein, um die andere Variable zu finden, und prüfe dann.

Beispiel: x + y = 5 und x − y = 1. Addieren ergibt 2x = 6, also x = 3; dann y = 2. Im Schritt „Freies Spiel“ im 3D zeigt der Knopf das Zeile für Zeile für jedes Paar, das du baust.

Textaufgaben

Vier Schritte machen aus einer Geschichte Mathematik:

1. Benenne die zwei Unbekannten: „Ein Stift koste ₹x und ein Heft ₹y.“
2. Schreibe für jede Angabe der Geschichte eine Gleichung auf.
3. Löse mit Einsetzen oder Addieren.
4. Prüfe, ob die Antwort sinnvoll ist (Preise positiv, Alter ganze Zahlen), und antworte in einem Satz.

Typische Aufgaben: Preise, Alter, zweistellige Zahlen, Brüche, Geschwindigkeit von Boot und Strömung, Grundgebühr plus Preis pro Einheit sowie Winkel oder Seiten einer Figur.

Probier es aus: ein Küchenexperiment

Bitte jemanden zu Hause, sich heimlich zwei Zahlen auszudenken. Frage nur nach ihrer Summe und ihrer Differenz. Schreibe x + y = Summe und x − y = Differenz. Addiere die beiden Gleichungen: 2x = Summe + Differenz. Finde x, dann y. Überrasche die Person! Stelle dann im 3D-Freispiel die grüne Gerade auf x − y = deine Differenz ein und sieh zu, wie der Schnittpunkt wandert.

Wichtige Formeln und Definitionen

• Eine Gleichung ax + by = c: Ihr Graph ist eine Gerade; jeder Punkt darauf ist eine Lösung
• Steigungsform: y = mx + c (m = Steigung, c = y-Achsenabschnitt)
• Steigung aus ax + by = c: m = −a/b, Achsenabschnitt c/b
• Allgemeine Form: a₁x + b₁y = c₁ und a₂x + b₂y = c₂
• a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ → eine Lösung (schneidend, lösbar)
• a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → keine Lösung (parallel, unlösbar)
• a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ → unendlich viele (zusammenfallend, abhängig)
• Einsetzen: eine Variable ausdrücken und in die andere Gleichung einsetzen
• Elimination: Koeffizienten gleich machen, addieren oder subtrahieren

Gelöste Beispiele

Häufige Fehler

• Nicht jeden Term zu multiplizieren (auch die Zahl auf der rechten Seite), wenn man die Koeffizienten gleich macht.
• Zu addieren, wo man subtrahieren muss: Subtrahiere, wenn die Koeffizienten dasselbe Vorzeichen haben, addiere, wenn sie verschiedene Vorzeichen haben.
• Die Fälle zu verwechseln: Gleiche Verhältnisse von a und b bedeuten parallel oder dieselbe Gerade, niemals eine Lösung.
• Nach einer Variablen aufzuhören oder die Lösung nicht in beiden Gleichungen zu prüfen.