Was ist eine quadratische Gleichung? (Normalform)
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in der die höchste Potenz von x die 2 ist. "Quadrat" kommt vom Quadrieren.
Ihre allgemeine Form ist ax² + bx + c = 0. Dabei sind a, b und c reelle Zahlen und a ≠ 0. Wäre a gleich 0, würde der x²-Teil verschwinden und es wäre eine lineare Gleichung.
Bringe zuerst immer alle Terme auf eine Seite. Beispiel: 2x² = 3x − 1 wird zu 2x² − 3x + 1 = 0, also a = 2, b = −3, c = 1.
Eine Zahl, die die Gleichung wahr macht, heißt Lösung oder Wurzel. Eine quadratische Gleichung hat höchstens zwei Lösungen.
Woran erkenne ich, ob eine Gleichung quadratisch ist?
Löse alle Klammern auf und fasse zusammen. Ist die höchste übrig gebliebene Potenz von x die 2, ist sie quadratisch. Vorsicht: (x + 1)² = x² + 3 wird zu 2x − 2 = 0 und ist nicht quadratisch, weil das x² wegfällt.
Lösen durch Faktorisieren (mittleres Glied zerlegen)
Suche bei ax² + bx + c = 0 zwei Zahlen, deren Produkt a × c ist und deren Summe b ist. Zerlege das mittlere Glied in diese beiden Zahlen, gruppiere und klammere gemeinsame Faktoren aus.
Beispiel: x² + 5x + 6 = 0. Wir brauchen zwei Zahlen mit Produkt 6 und Summe 5: Das sind 2 und 3.
x² + 2x + 3x + 6 = 0 → x(x + 2) + 3(x + 2) = 0 → (x + 2)(x + 3) = 0.
Wenn zwei Zahlen multipliziert 0 ergeben, ist mindestens eine davon 0. Also x + 2 = 0 oder x + 3 = 0, das ergibt x = −2 oder x = −3.
Die 3D-Kacheln zeigen, warum das klappt: Die Teile von x² + 5x + 6 passen genau in ein Rechteck mit den Seiten (x + 2) und (x + 3).
Lösen mit der Lösungsformel
Manche Gleichungen lassen sich nicht leicht faktorisieren. Die Lösungsformel (in Deutschland auch Mitternachtsformel oder abc-Formel genannt) funktioniert immer:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
Schritte: (1) Schreibe a, b, c mit ihren Vorzeichen auf; (2) berechne D = b² − 4ac; (3) wenn D ≥ 0, berechne √D; (4) setze die Werte einmal mit + und einmal mit − in die Formel ein.
Woher kommt die Formel?
Sie kommt von der quadratischen Ergänzung. Teile durch a: x² + (b/a)x + c/a = 0. Addiere und subtrahiere (b/2a)²: (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/4a². Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel: x + b/2a = ±√(b² − 4ac)/2a. Bringe b/2a auf die andere Seite, und die Formel steht da. Das ± erscheint, weil eine positive und eine negative Zahl dasselbe Quadrat haben.
Diskriminante und Art der Lösungen
Der Teil unter der Wurzel, D = b² − 4ac, heißt Diskriminante. "Diskriminieren" bedeutet hier "unterscheiden": D verrät uns, welche Art von Lösungen es gibt, ohne die Gleichung zu lösen.
- D > 0: zwei verschiedene reelle Lösungen. Die Kurve schneidet die x-Achse in zwei Punkten.
- D = 0: zwei gleiche reelle Lösungen, x = −b/2a. Die Kurve berührt die x-Achse nur.
- D < 0: keine reelle Lösung, denn keine reelle Zahl hat ein negatives Quadrat. Die Kurve bleibt von der x-Achse weg.
Eine typische Prüfungsfrage: "Bestimme k so, dass kx² + 6x + 1 = 0 genau eine Lösung hat." Setze D = 0: 36 − 4k = 0, also k = 9.
Textaufgaben zu quadratischen Gleichungen
Mit vier Schritten wird jede Geschichte zu einer quadratischen Gleichung:
- Benenne die Unbekannte: Sie heiße x (sage, was x bedeutet, und die Einheit).
- Schreibe die anderen Größen mit x auf.
- Stelle aus der Bedingung die Gleichung auf und bringe sie auf die Form ax² + bx + c = 0.
- Löse und prüfe: Verwirf Ergebnisse, die keinen Sinn ergeben (eine negative Länge, ein negatives Alter oder eine negative Geschwindigkeit).
Typische Aufgaben: Fläche eines Rechtecks, aufeinanderfolgende Zahlen, Alter, Geschwindigkeit und Zeit (Züge, Boote in einer Strömung) und Arbeit von zwei Personen.
Probier es aus: das Kachel-Rätsel zu Hause
Schneide aus Papier 1 großes Quadrat (Seite 5 cm), 5 Streifen (5 cm × 1 cm) und 6 kleine Quadrate (1 cm) aus. Sie stehen für x², 5x und 6. Versuche, alle 12 Teile zu einem Rechteck zu legen. Miss seine Seiten: Eine Seite ist x + 2, die andere x + 3. Probiere jetzt x² + 7x + 12 (7 Streifen, 12 kleine Quadrate). Welches Rechteck bekommst du?
Gehe im 3D oben zum letzten Schritt und rate zuerst: Wie oft trifft die Kurve die x-Achse bei a = 1, b = 4, c = 4? Bewege dann die Regler und prüfe nach.
Was in der Prüfung gefragt wird
Dieses Kapitel gehört zur Algebra (in der indischen CBSE-Prüfung etwa 20 Punkte). Zu erwarten sind: prüfen, ob eine Gleichung quadratisch ist (1 Punkt), k für gleiche Lösungen oder die Art der Lösungen bestimmen (2 Punkte), Lösen durch Faktorisieren oder mit der Formel (2–3 Punkte) und eine Textaufgabe (3–5 Punkte, oft zu Geschwindigkeit oder Fläche).
Wichtige Formeln und Definitionen
- Allgemeine Form: ax² + bx + c = 0, a ≠ 0
- Lösungsformel: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
- Diskriminante: D = b² − 4ac
- D > 0: zwei verschiedene reelle Lösungen; D = 0: zwei gleiche Lösungen x = −b/2a; D < 0: keine reelle Lösung
- Mittleres Glied zerlegen: finde p, q mit p × q = a × c und p + q = b
Gelöste Beispiele
1. Ist (x − 2)² + 1 = 2x − 3 eine quadratische Gleichung?
Löse die Klammer auf: x² − 4x + 4 + 1 = 2x − 3. Bringe alle Terme nach links: x² − 6x + 8 = 0. Die höchste Potenz ist 2 und a = 1 ≠ 0, also ja, sie ist quadratisch.
2. Löse x² − 7x + 12 = 0 durch Faktorisieren.
Gesucht sind zwei Zahlen mit Produkt 12 und Summe −7: −3 und −4. x² − 3x − 4x + 12 = 0 → x(x − 3) − 4(x − 3) = 0 → (x − 3)(x − 4) = 0. Also x = 3 oder x = 4.
3. Löse 2x² + x − 6 = 0 durch Faktorisieren.
a × c = 2 × (−6) = −12. Zwei Zahlen mit Produkt −12 und Summe 1: 4 und −3. 2x² + 4x − 3x − 6 = 0 → 2x(x + 2) − 3(x + 2) = 0 → (x + 2)(2x − 3) = 0. Also x = −2 oder x = 3/2.
4. Löse x² − 2x − 3 = 0 mit der Lösungsformel.
a = 1, b = −2, c = −3. D = (−2)² − 4(1)(−3) = 4 + 12 = 16, √D = 4. x = (2 ± 4)/2. Also x = 6/2 = 3 oder x = −2/2 = −1.
5. Bestimme die Art der Lösungen von 3x² − 4x + 2 = 0.
D = (−4)² − 4(3)(2) = 16 − 24 = −8. D < 0, also hat die Gleichung keine reelle Lösung.
6. Bestimme k so, dass x² − kx + 9 = 0 zwei gleiche Lösungen hat.
Für gleiche Lösungen ist D = 0: (−k)² − 4(1)(9) = 0 → k² = 36 → k = 6 oder k = −6.
7. Ein rechteckiger Garten ist 4 m länger als breit. Seine Fläche beträgt 96 m². Bestimme die Seiten.
Breite = x m, Länge = x + 4 m. x(x + 4) = 96 → x² + 4x − 96 = 0 → (x + 12)(x − 8) = 0 → x = 8 oder x = −12. Die Breite kann nicht negativ sein, also Breite = 8 m und Länge = 12 m.
8. Ein Zug legt 360 km mit gleichbleibender Geschwindigkeit zurück. Wäre er 10 km/h schneller, bräuchte er 3 Stunden weniger. Bestimme seine Geschwindigkeit.
Geschwindigkeit = x km/h. Zeit = 360/x. Dann gilt 360/x − 360/(x + 10) = 3. Multipliziere mit x(x + 10): 360(x + 10) − 360x = 3x(x + 10) → 3600 = 3x² + 30x → x² + 10x − 1200 = 0 → (x + 40)(x − 30) = 0. Die Geschwindigkeit kann nicht negativ sein, also beträgt sie 30 km/h.
Häufige Fehler
- Vergessen, vor dem Ablesen von a, b, c alle Terme auf eine Seite zu bringen. Bei x² = 5x − 6 ist b gleich −5 und c gleich 6, nicht 5 und −6.
- Das Vorzeichen von b in der Formel verlieren. Bei b = −3 ist −b = +3 und b² = 9 (nicht −9).
- Beide Seiten durch x teilen. Dadurch geht die Lösung x = 0 verloren. Klammere stattdessen x aus.
- Unmögliche Ergebnisse in Textaufgaben stehen lassen, etwa eine negative Länge oder ein negatives Alter. Prüfe immer und streiche sie.