Warum brauchen wir komplexe Zahlen?
Quadriere eine beliebige reelle Zahl: 3² = 9, (−3)² = 9, 0² = 0. Das Ergebnis ist nie negativ. Deshalb hat x² = −1, also x² + 1 = 0, keine reelle Lösung.
Mathematiker lösten das, indem sie eine neue Zahl hinzufügten, die imaginäre Einheit i mit i² = −1. Also ist √(−1) = i und √(−9) = √9 · i = 3i.
Eine komplexe Zahl ist jede Zahl z = a + ib mit reellen a und b. Wir nennen a den Realteil, Re(z), und b den Imaginärteil, Im(z). Reelle Zahlen sind komplexe Zahlen mit b = 0, es geht also nichts Altes verloren. Sieh dir Schritt 1 im 3D-Bild an: i ist eine Vierteldrehung von 1.
Potenzen von i
i¹ = i, i² = −1, i³ = i²·i = −i, i⁴ = (i²)² = 1. Danach wiederholt sich das Muster. Um iⁿ zu finden, teile n durch 4 und nimm den Rest: i⁴ᵏ = 1, i⁴ᵏ⁺¹ = i, i⁴ᵏ⁺² = −1, i⁴ᵏ⁺³ = −i. Beispiel: i¹⁰² → 102 = 4 × 25 + 2, also i¹⁰² = −1.
Vorsicht: √a · √b = √(ab) gilt nur, wenn a und b nicht beide negativ sind. Zum Beispiel √(−4)·√(−9) = 2i·3i = 6i² = −6 und nicht √36 = 6.
Rechnen mit komplexen Zahlen
- Gleichheit: a + ib = c + id gilt nur, wenn a = c und b = d.
- Addition: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d). Sie ist abgeschlossen, kommutativ und assoziativ; 0 ist das neutrale Element und −z das additive Inverse.
- Subtraktion: (a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d).
- Multiplikation: Multipliziere wie Klammern aus und setze i² = −1: (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc). Sie ist ebenfalls kommutativ, assoziativ und distributiv über der Addition; 1 ist das neutrale Element.
- Multiplikatives Inverses: Für z = a + ib ≠ 0 ist z⁻¹ = (a − ib)/(a² + b²).
- Division: z₁/z₂ = z₁ · z₂⁻¹. In der Praxis erweiterst du Zähler und Nenner mit der konjugierten Zahl des Nenners.
Identitäten wie (z₁ + z₂)² = z₁² + 2z₁z₂ + z₂² gelten auch für komplexe Zahlen.
Konjugierte und Betrag
Die konjugierte Zahl von z = a + ib ist z̄ = a − ib (das Vorzeichen des Imaginärteils wechselt). Der Betrag ist |z| = √(a² + b²). Nützliche Fakten: z · z̄ = |z|², |z₁z₂| = |z₁||z₂|, |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|, conj(z₁ + z₂) = z̄₁ + z̄₂, conj(z₁z₂) = z̄₁ z̄₂.
Zwischen zwei nicht reellen komplexen Zahlen gibt es kein „größer“ oder „kleiner“: 2 + i > 1 + 3i ist sinnlos. Nur ihre Beträge lassen sich vergleichen.
Die Gaußsche Ebene
Zeichne zwei senkrechte Achsen. Die waagrechte ist die reelle Achse, die senkrechte die imaginäre Achse. Die Zahl z = a + ib ist der Punkt (a, b). Dieses Bild heißt Gaußsche Zahlenebene (oder komplexe Ebene, auf Englisch Argand plane).
- Reelle Zahlen (wie 4) liegen auf der reellen Achse; rein imaginäre Zahlen (wie 3i) liegen auf der imaginären Achse.
- |z| ist der Abstand des Punktes vom Ursprung O, nach Pythagoras (Schritt 5 im 3D-Bild).
- z̄ ist das Spiegelbild von z an der reellen Achse.
- z₁ + z₂ ist die vierte Ecke des Parallelogramms aus O, z₁ und z₂ (Schritt 3).
- Die Multiplikation mit i dreht den Punkt um 90° gegen den Uhrzeigersinn um O (Schritt 4).
Quadratische Gleichungen mit komplexen Lösungen
Für ax² + bx + c = 0 (a, b, c reell) sind die Lösungen x = (−b ± √D)/2a mit D = b² − 4ac.
- D > 0: zwei verschiedene reelle Lösungen. D = 0: zwei gleiche reelle Lösungen.
- D < 0: √D = i√(−D), also sind die Lösungen x = (−b ± i√(−D))/2a. Sie sind komplex und immer ein konjugiertes Paar.
Beispiel: x² + 2x + 5 = 0. D = 4 − 20 = −16, √D = 4i, x = (−2 ± 4i)/2 = −1 ± 2i. Probier es im freien Spiel aus.
Worauf es in der Prüfung ankommt
Die Algebra bringt in der Klasse 11 etwa 25 Punkte. Aus diesem Kapitel kommen typischerweise: Potenzen von i (1 Punkt), einen Quotienten in die Form a + ib bringen (2–3 Punkte), Betrag, Konjugierte und Inverses (2 Punkte) und quadratische Gleichungen mit D < 0 lösen (2–3 Punkte). Gib das Endergebnis immer in der Form a + ib an.
Wichtige Formeln und Definitionen
- i = √(−1), i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1
- z = a + ib; Re(z) = a, Im(z) = b
- (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)
- z̄ = a − ib; |z| = √(a² + b²); z·z̄ = |z|²
- z⁻¹ = z̄ / |z|² = (a − ib)/(a² + b²)
- ax² + bx + c = 0, D < 0: x = (−b ± i√(−D)) / 2a
Gelöste Beispiele
1. Bestimme i⁵⁷ und i⁻³.
57 = 4 × 14 + 1, also i⁵⁷ = i¹ = i. i⁻³ = 1/i³ = 1/(−i) = −1/i. Erweitere mit i: −i/i² = −i/(−1) = i. Also i⁻³ = i.
2. Vereinfache (5 − 3i) + (−2 + 7i) und (5 − 3i) − (−2 + 7i).
Summe: Realteil 5 + (−2) = 3, Imaginärteil −3 + 7 = 4, also 3 + 4i. Differenz: Realteil 5 − (−2) = 7, Imaginärteil −3 − 7 = −10, also 7 − 10i.
3. Multipliziere (2 + 3i)(4 − i).
2·4 + 2·(−i) + 3i·4 + 3i·(−i) = 8 − 2i + 12i − 3i². Setze i² = −1: 8 + 3 + 10i = 11 + 10i.
4. Bestimme Betrag, Konjugierte und multiplikatives Inverses von z = 3 − 4i.
|z| = √(9 + 16) = 5. z̄ = 3 + 4i. z⁻¹ = z̄/|z|² = (3 + 4i)/25 = 3/25 + (4/25)i. Probe: (3 − 4i)(3 + 4i)/25 = 25/25 = 1.
5. Schreibe (1 + 2i)/(3 − i) in der Form a + ib.
Erweitere Zähler und Nenner mit 3 + i. Nenner: 9 + 1 = 10. Zähler: (1 + 2i)(3 + i) = 3 + i + 6i + 2i² = 1 + 7i. Ergebnis: 1/10 + (7/10)i.
6. Löse 2x² − 2x + 1 = 0.
a = 2, b = −2, c = 1. D = 4 − 8 = −4 < 0, also √D = 2i. x = (2 ± 2i)/4 = 1/2 ± (1/2)i. Die Lösungen 1/2 + i/2 und 1/2 − i/2 sind konjugiert zueinander.
7. Bestimme die reellen Zahlen x und y, wenn (x + 2y) + i(2x − y) = 5 + 5i.
Gleiche komplexe Zahlen haben gleiche Teile: x + 2y = 5 und 2x − y = 5. Aus der zweiten Gleichung folgt y = 2x − 5. Dann x + 4x − 10 = 5, also x = 3 und y = 1.
8. Wenn (a + ib)/(c + id) = x + iy, zeige, dass (a² + b²)/(c² + d²) = x² + y².
Bilde den Betrag auf beiden Seiten: |a + ib|/|c + id| = |x + iy|. Also √(a² + b²)/√(c² + d²) = √(x² + y²). Quadrieren beider Seiten ergibt die Behauptung.
Häufige Fehler
- i² = 1 schreiben. Richtig ist i² = −1; genau deshalb gibt es i überhaupt.
- √(−4)·√(−9) = √36 = 6 rechnen. Sind beide Zahlen negativ, schreib zuerst 2i · 3i = 6i² = −6.
- Direkt durch eine komplexe Zahl teilen. Erweitere immer Zähler und Nenner mit der konjugierten Zahl des Nenners.
- 3 + 2i > 1 + i sagen. Nicht reelle komplexe Zahlen lassen sich nicht ordnen; vergleiche stattdessen die Beträge.