¿Por qué necesitamos los números complejos?
Eleva al cuadrado cualquier número real: 3² = 9, (−3)² = 9, 0² = 0. El resultado nunca es negativo. Por eso x² = −1, o x² + 1 = 0, no tiene solución real.
Los matemáticos lo resolvieron añadiendo un número nuevo, la unidad imaginaria, que se escribe i, con i² = −1. Así, √(−1) = i y √(−9) = √9 · i = 3i.
Un número complejo es cualquier número z = a + ib donde a y b son reales. Llamamos a a la parte real, Re(z), y a b la parte imaginaria, Im(z). Los números reales son números complejos con b = 0, así que no perdemos nada de lo anterior. Mira el paso 1 del 3D: i es un cuarto de vuelta de 1.
Potencias de i
i¹ = i, i² = −1, i³ = i²·i = −i, i⁴ = (i²)² = 1. Después el patrón se repite. Para hallar iⁿ, divide n entre 4 y usa el resto: i⁴ᵏ = 1, i⁴ᵏ⁺¹ = i, i⁴ᵏ⁺² = −1, i⁴ᵏ⁺³ = −i. Ejemplo: i¹⁰² → 102 = 4 × 25 + 2, así que i¹⁰² = −1.
Cuidado: √a · √b = √(ab) solo es cierto cuando a y b no son los dos negativos. Por ejemplo √(−4)·√(−9) = 2i·3i = 6i² = −6, no √36 = 6.
Álgebra de los números complejos
- Igualdad: a + ib = c + id solo cuando a = c y b = d.
- Suma: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d). Es cerrada, conmutativa y asociativa; 0 es el elemento neutro y −z es el opuesto.
- Resta: (a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d).
- Multiplicación: multiplica como paréntesis y cambia i² = −1: (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc). También es conmutativa, asociativa y distributiva respecto de la suma; 1 es el elemento neutro.
- Inverso multiplicativo: para z = a + ib ≠ 0, z⁻¹ = (a − ib)/(a² + b²).
- División: z₁/z₂ = z₁ · z₂⁻¹. En la práctica, multiplica arriba y abajo por el conjugado del denominador.
Las identidades como (z₁ + z₂)² = z₁² + 2z₁z₂ + z₂² siguen funcionando con números complejos.
Conjugado y módulo
El conjugado de z = a + ib es z̄ = a − ib (se cambia el signo de la parte imaginaria). El módulo es |z| = √(a² + b²). Datos útiles: z · z̄ = |z|², |z₁z₂| = |z₁||z₂|, |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|, conj(z₁ + z₂) = z̄₁ + z̄₂, conj(z₁z₂) = z̄₁ z̄₂.
No existe ‘mayor’ ni ‘menor’ entre dos números complejos no reales: 2 + i > 1 + 3i no tiene sentido. Solo se pueden comparar sus módulos.
El plano de Argand
Dibuja dos ejes perpendiculares. El horizontal es el eje real y el vertical es el eje imaginario. El número z = a + ib es el punto (a, b). Este dibujo se llama plano de Argand (o plano complejo).
- Los números reales (como 4) están en el eje real; los imaginarios puros (como 3i) están en el eje imaginario.
- |z| es la distancia del punto al origen O, por Pitágoras (paso 5 del 3D).
- z̄ es el reflejo de z en el eje real.
- z₁ + z₂ es el cuarto vértice del paralelogramo formado por O, z₁ y z₂ (paso 3).
- Multiplicar por i gira el punto 90° en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de O (paso 4).
Ecuaciones cuadráticas con raíces complejas
Para ax² + bx + c = 0 (a, b, c reales), las raíces son x = (−b ± √D)/2a con D = b² − 4ac.
- D > 0: dos raíces reales distintas. D = 0: dos raíces reales iguales.
- D < 0: √D = i√(−D), así que las raíces son x = (−b ± i√(−D))/2a. Son complejas y siempre forman un par de conjugados.
Ejemplo: x² + 2x + 5 = 0. D = 4 − 20 = −16, √D = 4i, x = (−2 ± 4i)/2 = −1 ± 2i. Pruébalo en juego libre.
Qué se pregunta en los exámenes
En los exámenes de este tema suelen aparecer: potencias de i, escribir un cociente en la forma a + ib, módulo, conjugado e inverso, y resolver ecuaciones cuadráticas con D < 0. Da siempre el resultado final en la forma a + ib.
Fórmulas y definiciones clave
- i = √(−1), i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1
- z = a + ib; Re(z) = a, Im(z) = b
- (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)
- z̄ = a − ib; |z| = √(a² + b²); z·z̄ = |z|²
- z⁻¹ = z̄ / |z|² = (a − ib)/(a² + b²)
- ax² + bx + c = 0, D < 0: x = (−b ± i√(−D)) / 2a
Ejemplos resueltos
1. Halla i⁵⁷ e i⁻³.
57 = 4 × 14 + 1, así que i⁵⁷ = i¹ = i. i⁻³ = 1/i³ = 1/(−i) = −1/i. Multiplica arriba y abajo por i: −i/i² = −i/(−1) = i. Así que i⁻³ = i.
2. Simplifica (5 − 3i) + (−2 + 7i) y (5 − 3i) − (−2 + 7i).
Suma: real 5 + (−2) = 3, imaginaria −3 + 7 = 4, así que 3 + 4i. Resta: real 5 − (−2) = 7, imaginaria −3 − 7 = −10, así que 7 − 10i.
3. Multiplica (2 + 3i)(4 − i).
2·4 + 2·(−i) + 3i·4 + 3i·(−i) = 8 − 2i + 12i − 3i². Cambia i² = −1: 8 + 3 + 10i = 11 + 10i.
4. Halla el módulo, el conjugado y el inverso multiplicativo de z = 3 − 4i.
|z| = √(9 + 16) = 5. z̄ = 3 + 4i. z⁻¹ = z̄/|z|² = (3 + 4i)/25 = 3/25 + (4/25)i. Comprobación: (3 − 4i)(3 + 4i)/25 = 25/25 = 1.
5. Escribe (1 + 2i)/(3 − i) en la forma a + ib.
Multiplica arriba y abajo por 3 + i. Abajo: 9 + 1 = 10. Arriba: (1 + 2i)(3 + i) = 3 + i + 6i + 2i² = 1 + 7i. Resultado: 1/10 + (7/10)i.
6. Resuelve 2x² − 2x + 1 = 0.
a = 2, b = −2, c = 1. D = 4 − 8 = −4 < 0, así que √D = 2i. x = (2 ± 2i)/4 = 1/2 ± (1/2)i. Las raíces 1/2 + i/2 y 1/2 − i/2 son conjugadas.
7. Halla x e y reales si (x + 2y) + i(2x − y) = 5 + 5i.
Dos números complejos iguales tienen iguales sus partes: x + 2y = 5 y 2x − y = 5. De la segunda, y = 2x − 5. Entonces x + 4x − 10 = 5, así que x = 3 e y = 1.
8. Si (a + ib)/(c + id) = x + iy, demuestra que (a² + b²)/(c² + d²) = x² + y².
Toma el módulo en los dos lados: |a + ib|/|c + id| = |x + iy|. Es decir, √(a² + b²)/√(c² + d²) = √(x² + y²). Al elevar al cuadrado los dos lados sale el resultado.
Errores comunes
- Escribir i² = 1. Es i² = −1; esa es la razón de que exista i.
- Usar √(−4)·√(−9) = √36 = 6. Cuando los dos números son negativos, primero escribe 2i · 3i = 6i² = −6.
- Dividir directamente por un número complejo. Multiplica siempre arriba y abajo por el conjugado del denominador.
- Decir que 3 + 2i > 1 + i. Los números complejos no reales no se pueden ordenar; compara los módulos.