Perché servono i numeri complessi?
Elevia al quadrato un numero reale qualsiasi: 3² = 9, (−3)² = 9, 0² = 0. Il risultato non è mai negativo. Quindi x² = −1, cioè x² + 1 = 0, non ha nessuna soluzione reale.
I matematici hanno risolto il problema aggiungendo un solo numero nuovo, chiamato unità immaginaria e scritto i, con i² = −1. Quindi √(−1) = i, e √(−9) = √9 · i = 3i.
Un numero complesso è un numero z = a + ib con a e b reali. Chiamiamo a la parte reale, Re(z), e b la parte immaginaria, Im(z). I numeri reali sono numeri complessi con b = 0, quindi non perdiamo nulla di ciò che già conosciamo. Guarda il passo 1 del 3D: i è un quarto di giro di 1.
Potenze di i
i¹ = i, i² = −1, i³ = i²·i = −i, i⁴ = (i²)² = 1. Dopo di che lo schema si ripete. Per trovare iⁿ, dividi n per 4 e usa il resto: i⁴ᵏ = 1, i⁴ᵏ⁺¹ = i, i⁴ᵏ⁺² = −1, i⁴ᵏ⁺³ = −i. Esempio: i¹⁰² → 102 = 4 × 25 + 2, quindi i¹⁰² = −1.
Attenzione: √a · √b = √(ab) vale solo quando a e b non sono entrambi negativi. Per esempio √(−4)·√(−9) = 2i·3i = 6i² = −6, non √36 = 6.
Algebra dei numeri complessi
- Uguaglianza: a + ib = c + id solo quando a = c e b = d.
- Addizione: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d). È chiusa, commutativa e associativa; 0 è l'elemento neutro e −z è l'opposto.
- Sottrazione: (a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d).
- Moltiplicazione: moltiplica come con le parentesi e poni i² = −1: (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc). È anche commutativa, associativa e distributiva rispetto all'addizione; 1 è l'elemento neutro.
- Inverso moltiplicativo: per z = a + ib ≠ 0, z⁻¹ = (a − ib)/(a² + b²).
- Divisione: z₁/z₂ = z₁ · z₂⁻¹. In pratica, si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore.
Le identità come (z₁ + z₂)² = z₁² + 2z₁z₂ + z₂² valgono ancora per i numeri complessi.
Coniugato e modulo
Il coniugato di z = a + ib è z̄ = a − ib (cambia il segno della parte immaginaria). Il modulo è |z| = √(a² + b²). Fatti utili: z · z̄ = |z|², |z₁z₂| = |z₁||z₂|, |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|, coniugato(z₁ + z₂) = z̄₁ + z̄₂, coniugato(z₁z₂) = z̄₁ z̄₂.
Tra due numeri complessi non reali non esiste «maggiore» o «minore»: 2 + i > 1 + 3i non ha significato. Si possono confrontare solo i loro moduli.
Il piano di Argand
Disegna due assi perpendicolari. Quello orizzontale è l'asse reale e quello verticale è l'asse immaginario. Il numero z = a + ib è il punto (a, b). Questo disegno si chiama piano di Argand (o piano complesso).
- I numeri reali (come 4) stanno sull'asse reale; i numeri immaginari puri (come 3i) stanno sull'asse immaginario.
- |z| è la distanza del punto dall'origine O, per il teorema di Pitagora (passo 5 del 3D).
- z̄ è l'immagine speculare di z rispetto all'asse reale.
- z₁ + z₂ è il quarto vertice del parallelogramma formato da O, z₁ e z₂ (passo 3).
- Moltiplicare per i ruota il punto di 90° in senso antiorario attorno a O (passo 4).
Equazioni di secondo grado con radici complesse
Per ax² + bx + c = 0 (a, b, c reali), le radici sono x = (−b ± √D)/2a con D = b² − 4ac.
- D > 0: due radici reali diverse. D = 0: due radici reali uguali.
- D < 0: √D = i√(−D), quindi le radici sono x = (−b ± i√(−D))/2a. Sono complesse e formano sempre una coppia di coniugati.
Esempio: x² + 2x + 5 = 0. D = 4 − 20 = −16, √D = 4i, x = (−2 ± 4i)/2 = −1 ± 2i. Provalo nel gioco libero.
Cosa serve per la verifica
In una verifica su questo capitolo aspettati: potenze di i, un quoziente scritto nella forma a + ib, modulo, coniugato e inverso, e la risoluzione di equazioni di secondo grado con D < 0. Dai sempre il risultato finale nella forma a + ib.
Formule e definizioni chiave
- i = √(−1), i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1
- z = a + ib; Re(z) = a, Im(z) = b
- (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)
- z̄ = a − ib; |z| = √(a² + b²); z·z̄ = |z|²
- z⁻¹ = z̄ / |z|² = (a − ib)/(a² + b²)
- ax² + bx + c = 0, D < 0: x = (−b ± i√(−D)) / 2a
Esempi svolti
1. Trova i⁵⁷ e i⁻³.
57 = 4 × 14 + 1, quindi i⁵⁷ = i¹ = i. i⁻³ = 1/i³ = 1/(−i) = −1/i. Moltiplica numeratore e denominatore per i: −i/i² = −i/(−1) = i. Quindi i⁻³ = i.
2. Semplifica (5 − 3i) + (−2 + 7i) e (5 − 3i) − (−2 + 7i).
Somma: parte reale 5 + (−2) = 3, parte immaginaria −3 + 7 = 4, quindi 3 + 4i. Differenza: parte reale 5 − (−2) = 7, parte immaginaria −3 − 7 = −10, quindi 7 − 10i.
3. Moltiplica (2 + 3i)(4 − i).
2·4 + 2·(−i) + 3i·4 + 3i·(−i) = 8 − 2i + 12i − 3i². Poni i² = −1: 8 + 3 + 10i = 11 + 10i.
4. Trova modulo, coniugato e inverso moltiplicativo di z = 3 − 4i.
|z| = √(9 + 16) = 5. z̄ = 3 + 4i. z⁻¹ = z̄/|z|² = (3 + 4i)/25 = 3/25 + (4/25)i. Verifica: (3 − 4i)(3 + 4i)/25 = 25/25 = 1.
5. Scrivi (1 + 2i)/(3 − i) nella forma a + ib.
Moltiplica numeratore e denominatore per 3 + i. Denominatore: 9 + 1 = 10. Numeratore: (1 + 2i)(3 + i) = 3 + i + 6i + 2i² = 1 + 7i. Risultato: 1/10 + (7/10)i.
6. Risolvi 2x² − 2x + 1 = 0.
a = 2, b = −2, c = 1. D = 4 − 8 = −4 < 0, quindi √D = 2i. x = (2 ± 2i)/4 = 1/2 ± (1/2)i. Le radici 1/2 + i/2 e 1/2 − i/2 sono coniugate.
7. Trova x e y reali se (x + 2y) + i(2x − y) = 5 + 5i.
Due numeri complessi uguali hanno parti uguali: x + 2y = 5 e 2x − y = 5. Dalla seconda, y = 2x − 5. Allora x + 4x − 10 = 5, quindi x = 3 e y = 1.
8. Se (a + ib)/(c + id) = x + iy, dimostra che (a² + b²)/(c² + d²) = x² + y².
Prendi il modulo di entrambi i membri: |a + ib|/|c + id| = |x + iy|. Quindi √(a² + b²)/√(c² + d²) = √(x² + y²). Elevando al quadrato si ottiene il risultato.
Errori comuni
- Scrivere i² = 1. Invece è i² = −1: è proprio per questo che esiste i.
- Usare √(−4)·√(−9) = √36 = 6. Quando entrambi i numeri sono negativi, scrivi prima 2i · 3i = 6i² = −6.
- Dividere direttamente per un numero complesso. Moltiplica sempre numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore.
- Dire che 3 + 2i > 1 + i. I numeri complessi non reali non si possono ordinare; confronta invece i moduli.