Che cos'è un'equazione di primo grado a un'incognita?
Un'equazione è un'uguaglianza tra due espressioni. Contiene il segno uguale (=).
Una variabile (o incognita) è una lettera, come x, che sta al posto di un numero che non conosciamo ancora.
Un'equazione è di primo grado (lineare) quando la variabile ha esponente 1. Quindi 2x + 3 = 11 è lineare. Invece x² = 9 non lo è.
La soluzione (o radice) è il numero che rende uguali i due lati. Per 2x + 3 = 11 la soluzione è x = 4.
Forma generale: ax + b = 0, con a ≠ 0. Un'equazione lineare in una variabile ha esattamente una soluzione.
Il metodo della bilancia
Pensa al segno uguale come al centro di una bilancia. Puoi fare una di queste operazioni su entrambi i lati e la bilancia resta in equilibrio:
- aggiungere lo stesso numero
- sottrarre lo stesso numero
- moltiplicare per lo stesso numero
- dividere per lo stesso numero diverso da zero
Obiettivo: lasciare x da sola da una parte.
Trasporto (scorciatoia)
Spostare un termine dall'altra parte cambiandogli il segno si chiama trasporto. È solo il metodo della bilancia scritto più in fretta.
x + 7 = 12 → x = 12 − 7 = 5. (+7 è diventato −7.)
3x = 18 → x = 18 ÷ 3 = 6. (× 3 è diventato ÷ 3.)
Equazioni più difficili
Variabile su entrambi i lati
Raccogli tutti i termini con x da una parte e tutti i numeri dall'altra. 5x − 4 = 2x + 11 → 5x − 2x = 11 + 4 → 3x = 15 → x = 5.
Parentesi
Prima togli le parentesi. 3(x − 2) = 12 → 3x − 6 = 12 → 3x = 18 → x = 6. Oppure dividi prima entrambi i lati per 3: x − 2 = 4 → x = 6.
Frazioni
Moltiplica entrambi i lati per il m.c.m. dei denominatori per eliminare le frazioni. x/2 + x/3 = 10 → moltiplica per 6 → 3x + 2x = 60 → 5x = 60 → x = 12.
Equazioni che si riducono alla forma lineare
(x + 1)/(x − 2) = 3/2. Moltiplica in croce: 2(x + 1) = 3(x − 2) → 2x + 2 = 3x − 6 → x = 8. (x non può essere 2, perché non si può dividere per zero.)
Casi particolari
Se x sparisce e ottieni un'uguaglianza vera come 4 = 4, vale qualsiasi numero (un'identità, equazione indeterminata). Se ottieni una falsa come 4 = 7, non c'è nessuna soluzione (equazione impossibile).
Problemi: dalla storia all'equazione
- Leggi con attenzione. Qual è l'incognita? Chiamala x (scrivilo: «Sia x = …»).
- Scrivi le altre quantità usando x.
- Trova la frase che dice che due cose sono uguali. Scrivi l'equazione.
- Risolvi.
- Controlla il risultato nella storia e scrivilo con l'unità di misura.
Esempio: un rettangolo è lungo 4 m più della sua larghezza. Il suo perimetro è 32 m. Sia larghezza = x. Lunghezza = x + 4. 2(x + x + 4) = 32 → 4x + 8 = 32 → x = 6. Larghezza 6 m, lunghezza 10 m.
Tipi comuni: età, numeri consecutivi, perimetro, soldi e monete, velocità–spazio–tempo, percentuali.
Formule e definizioni chiave
- ax + b = 0 → x = −b/a (a ≠ 0)
- ax + b = c → x = (c − b)/a
- Trasporto: + ↔ −, × ↔ ÷
- Eliminare le frazioni: moltiplica entrambi i lati per il m.c.m.
- Verifica: rimetti x in entrambi i lati
Esempi svolti
1. Risolvi x − 9 = 4.
Aggiungi 9 a entrambi i lati: x = 4 + 9 = 13. Verifica: 13 − 9 = 4 ✓.
2. Risolvi 4x + 5 = 29.
Sottrai 5: 4x = 24. Dividi per 4: x = 6. Verifica: 4 × 6 + 5 = 29 ✓.
3. Risolvi 7x − 3 = 4x + 12.
Sottrai 4x: 3x − 3 = 12. Aggiungi 3: 3x = 15. Dividi per 3: x = 5. Verifica: 32 = 32 ✓.
4. Risolvi 2(3x − 1) = 5(x + 2).
Togli le parentesi: 6x − 2 = 5x + 10. Sottrai 5x: x − 2 = 10. Quindi x = 12. Verifica: 2 × 35 = 70 e 5 × 14 = 70 ✓.
5. Risolvi x/4 − 1 = x/6.
Il m.c.m. di 4 e 6 è 12. Moltiplica per 12: 3x − 12 = 2x. Quindi x = 12. Verifica: 3 − 1 = 2 ✓.
6. La somma di tre numeri consecutivi è 72. Trovali.
Siano x, x + 1, x + 2. 3x + 3 = 72 → 3x = 69 → x = 23. Numeri: 23, 24, 25.
7. Una madre ha 3 volte l'età di suo figlio. Tra 12 anni avrà il doppio della sua età. Trova le loro età oggi.
Figlio = x, madre = 3x. Tra 12 anni: 3x + 12 = 2(x + 12) → 3x + 12 = 2x + 24 → x = 12. Figlio 12 anni, madre 36 anni.
Errori comuni
- Fare un passaggio su un lato solo. Se sottrai 3 a sinistra, sottrai 3 anche a destra.
- Dimenticare di cambiare il segno nel trasporto: x + 5 = 9 dà x = 9 − 5, non 9 + 5.
- Moltiplicare solo il primo termine dentro la parentesi: 3(x − 2) è 3x − 6, non 3x − 2.
- Eliminare le frazioni ma dimenticare di moltiplicare anche i termini interi: in x/2 + 1 = 4, moltiplicando per 2 si ottiene x + 2 = 8.