Was ist eine lineare Gleichung mit einer Variablen?
Eine Gleichung sagt, dass zwei Dinge gleich sind. Sie enthält ein Gleichheitszeichen (=).
Eine Variable (oder Unbekannte) ist ein Buchstabe wie x, der für eine Zahl steht, die wir noch nicht kennen.
Eine Gleichung heißt linear, wenn die Variable die Hochzahl 1 hat. Also ist 2x + 3 = 11 linear. Aber x² = 9 ist nicht linear.
Die Lösung (oder Wurzel) ist die Zahl, die beide Seiten gleich macht. Bei 2x + 3 = 11 ist die Lösung x = 4.
Allgemeine Form: ax + b = 0 mit a ≠ 0. Eine lineare Gleichung mit einer Variablen hat genau eine Lösung.
Die Waagen-Methode
Stell dir das Gleichheitszeichen als Mitte einer Waage vor. Du darfst eines davon auf beiden Seiten tun, und die Waage bleibt im Gleichgewicht:
- dieselbe Zahl addieren
- dieselbe Zahl subtrahieren
- mit derselben Zahl multiplizieren
- durch dieselbe Zahl teilen (nicht durch 0)
Ziel: x steht allein auf einer Seite.
Umstellen (Abkürzung)
Einen Term auf die andere Seite bringen und dabei das Vorzeichen ändern heißt Umstellen (Transponieren). Es ist nur die Waagen-Methode, schneller aufgeschrieben.
x + 7 = 12 → x = 12 − 7 = 5. (+7 wurde zu −7.)
3x = 18 → x = 18 ÷ 3 = 6. (× 3 wurde zu ÷ 3.)
Schwierigere Gleichungen
Variable auf beiden Seiten
Sammle alle x-Terme auf einer Seite und alle Zahlen auf der anderen. 5x − 4 = 2x + 11 → 5x − 2x = 11 + 4 → 3x = 15 → x = 5.
Klammern
Löse zuerst die Klammern auf. 3(x − 2) = 12 → 3x − 6 = 12 → 3x = 18 → x = 6. Oder teile zuerst beide Seiten durch 3: x − 2 = 4 → x = 6.
Brüche
Multipliziere beide Seiten mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) der Nenner, dann verschwinden die Brüche. x/2 + x/3 = 10 → mal 6 → 3x + 2x = 60 → 5x = 60 → x = 12.
Gleichungen, die sich auf lineare Form bringen lassen
(x + 1)/(x − 2) = 3/2. Kreuzweise multiplizieren: 2(x + 1) = 3(x − 2) → 2x + 2 = 3x − 6 → x = 8. (x darf nicht 2 sein, denn durch null kann man nicht teilen.)
Sonderfälle
Wenn x verschwindet und eine wahre Aussage wie 4 = 4 übrig bleibt, passt jede Zahl (eine Identität). Bleibt eine falsche Aussage wie 4 = 7, gibt es keine Lösung.
Textaufgaben: von der Geschichte zur Gleichung
- Lies genau. Was ist unbekannt? Nenne es x (schreib auf: „Sei x = …“).
- Schreibe die anderen Größen mit x auf.
- Finde den Satz, der sagt, dass zwei Dinge gleich sind. Stelle die Gleichung auf.
- Löse sie.
- Prüfe die Antwort an der Geschichte und schreibe sie mit Einheit auf.
Beispiel: Ein Rechteck ist 4 m länger als breit. Sein Umfang beträgt 32 m. Sei die Breite x. Die Länge ist x + 4. 2(x + x + 4) = 32 → 4x + 8 = 32 → x = 6. Breite 6 m, Länge 10 m.
Häufige Aufgabentypen: Alter, aufeinanderfolgende Zahlen, Umfang, Geld und Münzen, Geschwindigkeit–Weg–Zeit, Prozente.
Wichtige Formeln und Definitionen
- ax + b = 0 → x = −b/a (a ≠ 0)
- ax + b = c → x = (c − b)/a
- Umstellen: + ↔ −, × ↔ ÷
- Brüche beseitigen: beide Seiten mit dem kgV multiplizieren
- Probe: x in beide Seiten einsetzen
Gelöste Beispiele
1. Löse x − 9 = 4.
Addiere 9 auf beiden Seiten: x = 4 + 9 = 13. Probe: 13 − 9 = 4 ✓.
2. Löse 4x + 5 = 29.
Subtrahiere 5: 4x = 24. Teile durch 4: x = 6. Probe: 4 × 6 + 5 = 29 ✓.
3. Löse 7x − 3 = 4x + 12.
Subtrahiere 4x: 3x − 3 = 12. Addiere 3: 3x = 15. Teile durch 3: x = 5. Probe: 32 = 32 ✓.
4. Löse 2(3x − 1) = 5(x + 2).
Klammern auflösen: 6x − 2 = 5x + 10. Subtrahiere 5x: x − 2 = 10. Also x = 12. Probe: 2 × 35 = 70 und 5 × 14 = 70 ✓.
5. Löse x/4 − 1 = x/6.
Das kgV von 4 und 6 ist 12. Mit 12 multiplizieren: 3x − 12 = 2x. Also x = 12. Probe: 3 − 1 = 2 ✓.
6. Die Summe von drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist 72. Finde die Zahlen.
Die Zahlen seien x, x + 1, x + 2. 3x + 3 = 72 → 3x = 69 → x = 23. Zahlen: 23, 24, 25.
7. Eine Mutter ist 3-mal so alt wie ihr Sohn. In 12 Jahren ist sie doppelt so alt wie er. Wie alt sind beide jetzt?
Sohn = x, Mutter = 3x. In 12 Jahren: 3x + 12 = 2(x + 12) → 3x + 12 = 2x + 24 → x = 12. Sohn 12 Jahre, Mutter 36 Jahre.
Häufige Fehler
- Einen Schritt nur auf einer Seite machen. Wenn du links 3 subtrahierst, subtrahiere auch rechts 3.
- Beim Umstellen das Vorzeichen vergessen zu ändern: x + 5 = 9 ergibt x = 9 − 5, nicht 9 + 5.
- Nur den ersten Term in der Klammer multiplizieren: 3(x − 2) ist 3x − 6, nicht 3x − 2.
- Brüche beseitigen, aber die Zahlen ohne Bruch nicht mitmultiplizieren: Bei x/2 + 1 = 4 ergibt Multiplizieren mit 2 die Gleichung x + 2 = 8.