Was ist eine Identität?
Eine Gleichung wie 2x + 1 = 7 stimmt nur für x = 3. Eine Identität stimmt für jeden Wert. Beispiel: (x + 1)² = x² + 2x + 1. Probiere x = 5: 36 = 25 + 10 + 1. ✓
Um eine Identität zu testen, setzt du irgendeine Zahl in beide Seiten ein. Um sie zu beweisen, multiplizierst du aus oder zeichnest sie.
Identitäten als Flächen sehen
Flächeninhalt eines Rechtecks = Länge × Breite. Ein Produkt aus zwei Klammern ist also eine Fläche.
- (a + b)² = a² + 2ab + b²: Ein Quadrat mit der Seite a + b besteht aus einem a², zwei ab und einem b².
- (a − b)² = a² − 2ab + b²: Nimm von a² zwei Streifen a×b weg. Das Eck b² wurde zweimal weggenommen, also füge es einmal wieder hinzu.
- a² − b² = (a + b)(a − b): Schneide b² aus einer Ecke von a² heraus. Verschiebe ein Stück der L-Form, so entsteht ein Rechteck (a + b) mal (a − b).
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab: Rechteck mit den Seiten x + a und x + b.
Faktorisieren mit Identitäten und Algebra-Plättchen
Faktorisieren heißt, einen Term als Produkt zu schreiben. Lies die Identität dazu von rechts nach links.
- x² + 10x + 25 = (x + 5)² (erster und letzter Term sind Quadrate, der mittlere ist 2 · x · 5).
- 49y² − 16 = (7y)² − 4² = (7y + 4)(7y − 4).
- x² + 7x + 12: Suche zwei Zahlen mit Summe 7 und Produkt 12 → 3 und 4. Also (x + 3)(x + 4).
Algebra-Plättchen: Nimm ein großes Quadrat für x², einen Streifen für jedes x und ein kleines Quadrat für jede 1. Lege das x² in eine Ecke, die Streifen an zwei Seiten und fülle die Ecke mit Einheiten. Ergibt sich ein perfektes Rechteck, dann sind seine Seiten die Faktoren.
Neue Identitäten finden
Wir können aus alten Identitäten oder aus Formen neue bauen.
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca: Ein Quadrat mit der Seite a + b + c hat ein 3 × 3-Gitter aus 9 Teilen.
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³: Ein Würfel mit der Seite a + b zerfällt in 8 Blöcke.
- (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³: Setze −b anstelle von b ein.
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) und a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
- Wenn a + b + c = 0, dann a³ + b³ + c³ = 3abc.
Prüfe eine neue Identität immer mit Zahlen, zum Beispiel a = 2, b = 1.
Bruchterme vereinfachen
Ein Bruchterm ist ein Polynom geteilt durch ein anderes, zum Beispiel (x² − 9)/(x + 3). Zum Vereinfachen faktorisierst du Zähler und Nenner und kürzt dann gemeinsame Faktoren.
(x² − 9)/(x + 3) = (x + 3)(x − 3)/(x + 3) = x − 3, für x ≠ −3.
Merke: Kürze nur ganze Faktoren, nie einzelne Summanden. Und der Wert, der den Nenner null macht, ist nicht erlaubt.
Zum Ausprobieren: ein Versuch
Schneide Papier zu: ein Quadrat 7 cm (a²), zwei Streifen 7 cm × 3 cm (ab) und ein Quadrat 3 cm (b²). Lege sie zu einem großen Quadrat zusammen. Miss seine Seite: 10 cm. Prüfe 10² = 49 + 42 + 9 = 100. Schneide dann 12 Einheitsquadrate und Streifen zu und faktorisiere x² + 7x + 12 selbst.
Prüfungsecke
Typische Aufgaben: mit einer Identität ausmultiplizieren; 99³ oder 104 × 96 berechnen, ohne direkt zu multiplizieren; x³ + 27 oder 8a³ − 27b³ faktorisieren; a + b + c = 0 nutzen; eine Identität mit einer Zeichnung beweisen; einen Bruchterm vereinfachen.
Wichtige Formeln und Definitionen
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- a² − b² = (a + b)(a − b)
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
- (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b); (a − b)³ = a³ − b³ − 3ab(a − b)
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
- a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
Gelöste Beispiele
1. Multipliziere (2x + 3)² aus.
(2x)² + 2(2x)(3) + 3² = 4x² + 12x + 9.
2. Berechne 98² ohne schriftliches Multiplizieren.
(100 − 2)² = 10000 − 400 + 4 = 9604.
3. Berechne 104 × 96.
(100 + 4)(100 − 4) = 100² − 4² = 10000 − 16 = 9984.
4. Faktorisiere x² + 5x + 6 mit Plättchen.
1 x², 5 Streifen, 6 Einheiten. Das Rechteck hat die Seiten x + 2 und x + 3. Probe: 2 + 3 = 5, 2 × 3 = 6. Also (x + 2)(x + 3).
5. Multipliziere (a + 2b − c)² aus.
a² + 4b² + c² + 2(a)(2b) + 2(2b)(−c) + 2(−c)(a) = a² + 4b² + c² + 4ab − 4bc − 2ca.
6. Faktorisiere 8x³ + 27.
(2x)³ + 3³ = (2x + 3)(4x² − 6x + 9).
7. Wenn a + b + c = 0, berechne a³ + b³ + c³ für a = 5, b = −2, c = −3.
5 − 2 − 3 = 0, also a³ + b³ + c³ = 3abc = 3 × 5 × (−2) × (−3) = 90. Probe: 125 − 8 − 27 = 90 ✓.
8. Vereinfache (x² − 4x + 4)/(x² − 4).
Zähler = (x − 2)². Nenner = (x + 2)(x − 2). Kürze (x − 2): (x − 2)/(x + 2), für x ≠ 2, −2.
Häufige Fehler
- (a + b)² = a² + b² schreiben. Die zwei ab-Streifen fehlen: Der mittlere Term 2ab wird gebraucht.
- Das Vorzeichen bei (a − b)² falsch setzen: Der letzte Term + b² ist immer positiv.
- Summanden im Bruch kürzen: (x + 3)/3 ist nicht x. Kürze nur gemeinsame Faktoren.
- Vergessen, den Koeffizienten zu quadrieren: (3x)² = 9x², nicht 3x².