Betrag und Richtung eines Vektors
Ein Vektor ist eine Größe mit einem Betrag und einer Richtung, zum Beispiel ein Stoß, eine Geschwindigkeit oder eine Verschiebung von einem Ort zum anderen. Ein Skalar hat nur eine Größe, zum Beispiel Masse oder Zeit.
Wir zeichnen einen Vektor als Pfeil von einem Anfangspunkt (Fuß) zu einem Endpunkt (Spitze). Der Betrag ist die Länge des Pfeils, geschrieben |a|. Für a = xî + yĵ + zk̂ ist der Betrag |a| = √(x² + y² + z²). Das ist einfach zweimal der Satz des Pythagoras.
Die Richtung wird durch die Winkel angegeben, die der Pfeil mit der positiven x-, y- und z-Achse bildet.
Richtungskosinus und Richtungsverhältnisse
Der Pfeil bilde die Winkel α, β, γ mit der x-, y- und z-Achse. Dann sind l = cos α, m = cos β, n = cos γ seine Richtungskosinus.
- Für a = xî + yĵ + zk̂: l = x/|a|, m = y/|a|, n = z/|a|.
- Es gilt immer l² + m² + n² = 1 (weil x² + y² + z² = |a|²).
Drei beliebige Zahlen im gleichen Verhältnis wie l, m, n heißen Richtungsverhältnisse. Die Komponenten x, y, z selbst sind Richtungsverhältnisse. Um von den Verhältnissen a, b, c zu den Kosinus zu kommen, teilst du jede Zahl durch √(a² + b² + c²).
Warum das wichtig ist: Der Einheitsvektor in Richtung von a ist einfach lî + mĵ + nk̂.
Arten von Vektoren
- Nullvektor 0: Länge 0, Anfang und Ende sind derselbe Punkt, die Richtung ist nicht festgelegt.
- Einheitsvektor â: Länge 1. â = a/|a|. î, ĵ, k̂ sind Einheitsvektoren entlang der Achsen.
- Vektoren mit gemeinsamem Anfang: gleicher Startpunkt.
- Kollineare (parallele) Vektoren: liegen auf derselben oder auf parallelen Geraden; b = k a für eine Zahl k.
- Gleiche Vektoren: gleiche Länge und gleiche Richtung, egal wo sie gezeichnet sind (freie Vektoren).
- Gegenvektor −a: gleiche Länge, entgegengesetzte Richtung.
Ortsvektor und Komponenten
Der Ortsvektor eines Punktes P(x, y, z) ist der Pfeil vom Ursprung O zu P: OP = xî + yĵ + zk̂. Seine Länge ist der Abstand OP.
Hier sind x î, y ĵ und z k̂ die Vektorkomponenten entlang der Achsen, und x, y, z sind die skalaren Komponenten.
Vektor zwischen zwei Punkten
Von P₁(x₁, y₁, z₁) nach P₂(x₂, y₂, z₂): P₁P₂ = (x₂ − x₁)î + (y₂ − y₁)ĵ + (z₂ − z₁)k̂ – immer "Spitze minus Fuß".
Addition von Vektoren und Multiplikation mit einem Skalar
Dreiecksregel: Lege den Fuß von b an die Spitze von a; der Pfeil vom Fuß von a zur Spitze von b ist a + b. Die Parallelogrammregel sagt dasselbe: Zeichne a und b von einem Punkt aus; die Diagonale ist a + b.
- In Komponenten: Addiere die î-Teile, die ĵ-Teile und die k̂-Teile getrennt.
- Die Addition ist kommutativ (a + b = b + a) und assoziativ ((a + b) + c = a + (b + c)).
- a + (−a) = 0, und a − b = a + (−b).
Vielfaches mit einem Skalar
k a hat die Länge |k||a|. Ist k > 0, zeigt es in dieselbe Richtung, ist k < 0, zeigt es in die entgegengesetzte Richtung, ist k = 0, ist es der Nullvektor. k(a + b) = ka + kb.
Teilungsformel
A und B haben die Ortsvektoren a und b.
- Innere Teilung im Verhältnis m : n: r = (m b + n a)/(m + n).
- Äußere Teilung im Verhältnis m : n: r = (m b − n a)/(m − n), m ≠ n.
- Mittelpunkt (m = n): r = (a + b)/2.
Warum: AP : PB = m : n bedeutet n·AP = m·PB, also n(r − a) = m(b − r). Löse nach r auf. Merke: m steht bei dem weiter entfernten Ende b.
Außerdem: Der Schwerpunkt eines Dreiecks mit den Ecken a, b, c ist (a + b + c)/3.
Skalarprodukt und seine Anwendungen
a·b = |a||b| cos θ, wobei θ (0 ≤ θ ≤ π) der Winkel zwischen den Vektoren ist. Das Ergebnis ist eine Zahl (Skalar).
- In Komponenten: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃.
- î·î = ĵ·ĵ = k̂·k̂ = 1; î·ĵ = ĵ·k̂ = k̂·î = 0.
- a·b = 0 ⇔ a ⊥ b (für Vektoren ungleich null). a·a = |a|².
- Kommutativ: a·b = b·a; distributiv über die Addition.
Anwendungen
- Winkel: cos θ = a·b / (|a||b|).
- Projektion von a auf b: a·b̂ = a·b/|b| (der "Schatten" von a auf b).
- Arbeit einer Kraft: W = F·d.
Kreuzprodukt und seine Anwendungen
a × b = |a||b| sin θ n̂, wobei n̂ der Einheitsvektor ist, der senkrecht auf a und b steht und durch die Rechte-Hand-Regel festgelegt wird (Finger von a nach b krümmen, der Daumen zeigt n̂).
- î × ĵ = k̂, ĵ × k̂ = î, k̂ × î = ĵ; î × î = 0.
- b × a = −(a × b) (nicht kommutativ).
- a × b = 0 ⇔ a ∥ b (für Vektoren ungleich null).
- In Komponenten nimmst du die 3 × 3-Determinante mit î, ĵ, k̂ in der ersten Zeile, a₁ a₂ a₃ in der zweiten und b₁ b₂ b₃ in der dritten.
Anwendungen
- Fläche eines Parallelogramms mit den Seiten a, b = |a × b|; mit den Diagonalen d₁, d₂ = ½|d₁ × d₂|.
- Fläche des Dreiecks ABC = ½|AB × AC|.
- Ein Vektor senkrecht zu zwei gegebenen Vektoren; sin θ = |a × b| / (|a||b|).
- Drehmoment τ = r × F in der Physik.
Prüfung: Diese Einheit zählt in der indischen CBSE-Prüfung zusammen mit der 3D-Geometrie 14 Punkte; typische Aufgaben sind Winkel und Projektion, Fläche mit dem Kreuzprodukt, ein Einheitsvektor senkrecht zu zwei Vektoren und die Teilungsformel.
Wichtige Formeln und Definitionen
- |a| = √(x² + y² + z²)
- l = x/|a|, m = y/|a|, n = z/|a|; l² + m² + n² = 1
- â = a/|a|
- P₁P₂ = (x₂ − x₁)î + (y₂ − y₁)ĵ + (z₂ − z₁)k̂
- Innen: r = (mb + na)/(m + n); außen: r = (mb − na)/(m − n)
- a·b = |a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
- Projektion von a auf b = a·b/|b|
- |a × b| = |a||b|sinθ; Dreiecksfläche = ½|a × b|
Gelöste Beispiele
1. Bestimme den Betrag und die Richtungskosinus von a = 2î − 3ĵ + 6k̂.
Schritt 1: |a| = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7. Schritt 2: l = 2/7, m = −3/7, n = 6/7. Probe: 4/49 + 9/49 + 36/49 = 1 ✓.
2. Bestimme den Einheitsvektor in Richtung von a + b, wobei a = î + 2ĵ − k̂ und b = 2î − ĵ + 3k̂.
Schritt 1: a + b = 3î + ĵ + 2k̂. Schritt 2: |a + b| = √(9 + 1 + 4) = √14. Schritt 3: Einheitsvektor = (3î + ĵ + 2k̂)/√14.
3. Bestimme den Ortsvektor des Punktes R, der P(2, −1, 3) und Q(4, 5, −3) äußerlich im Verhältnis 2 : 1 teilt.
Schritt 1: r = (2q − 1p)/(2 − 1). Schritt 2: 2q = (8, 10, −6), p = (2, −1, 3). Schritt 3: 2q − p = (6, 11, −9). Also r = 6î + 11ĵ − 9k̂.
4. Bestimme den Winkel zwischen a = î + ĵ − k̂ und b = î − ĵ + k̂.
Schritt 1: a·b = 1 − 1 − 1 = −1. Schritt 2: |a| = |b| = √3. Schritt 3: cosθ = −1/3. Also θ = cos⁻¹(−1/3) ≈ 109.5°.
5. Bestimme die Projektion von a = 2î + 3ĵ + 2k̂ auf b = î + 2ĵ + k̂.
Schritt 1: a·b = 2 + 6 + 2 = 10. Schritt 2: |b| = √6. Schritt 3: Projektion = 10/√6 = 5√6/3 ≈ 4.08.
6. Bestimme einen Einheitsvektor, der senkrecht auf a = 2î + 3ĵ − k̂ und b = î − ĵ + 2k̂ steht.
Schritt 1: a × b = î(3·2 − (−1)(−1)) − ĵ(2·2 − (−1)·1) + k̂(2·(−1) − 3·1) = 5î − 5ĵ − 5k̂. Schritt 2: |a × b| = 5√3. Schritt 3: Einheitsvektor = ±(î − ĵ − k̂)/√3.
7. Bestimme die Fläche des Dreiecks mit den Ecken A(1, 1, 2), B(2, 3, 5) und C(1, 5, 5).
Schritt 1: AB = î + 2ĵ + 3k̂, AC = 0î + 4ĵ + 3k̂. Schritt 2: AB × AC = î(6 − 12) − ĵ(3 − 0) + k̂(4 − 0) = −6î − 3ĵ + 4k̂. Schritt 3: |AB × AC| = √(36 + 9 + 16) = √61. Fläche = ½√61 ≈ 3.9 Flächeneinheiten.
8. Wenn |a| = 3, |b| = 4 und a·b = 6, bestimme |a × b| und |a + b|.
Schritt 1: cosθ = 6/12 = 1/2, also θ = 60° und sinθ = √3/2. Schritt 2: |a × b| = 3 × 4 × √3/2 = 6√3. Schritt 3: |a + b|² = |a|² + |b|² + 2a·b = 9 + 16 + 12 = 37, also |a + b| = √37.
Häufige Fehler
- a × b = b × a schreiben. Die Reihenfolge zählt: b × a = −(a × b).
- Die Wurzel in |a| vergessen oder die Komponenten addieren statt ihrer Quadrate.
- In der Teilungsformel m zu a statt zu b setzen. m gehört zum weiter entfernten Ende b: (mb + na)/(m + n).
- Den mittleren Term der Kreuzprodukt-Determinante mit + Zeichen nehmen. Der ĵ-Term hat immer ein Minus: −ĵ(a₁b₃ − a₃b₁).