Módulo y dirección de un vector
Un vector es una cantidad con tamaño y dirección, como un empujón, una velocidad o un desplazamiento de un lugar a otro. Un escalar solo tiene tamaño, como la masa o el tiempo.
Dibujamos un vector como una flecha desde un punto inicial (cola) hasta un punto final (punta). El módulo es la longitud de la flecha y se escribe |a|. Para a = xî + yĵ + zk̂ el módulo es |a| = √(x² + y² + z²). Es el teorema de Pitágoras usado dos veces.
La dirección la indican los ángulos que forma la flecha con los semiejes positivos x, y, z.
Cosenos directores y números directores
Supón que la flecha forma los ángulos α, β, γ con los ejes x, y, z. Entonces l = cos α, m = cos β, n = cos γ son sus cosenos directores.
- Para a = xî + yĵ + zk̂: l = x/|a|, m = y/|a|, n = z/|a|.
- Siempre se cumple l² + m² + n² = 1 (porque x² + y² + z² = |a|²).
Tres números cualesquiera en la misma proporción que l, m, n se llaman números directores (o razones directoras). Las propias componentes x, y, z son números directores. Para pasar de los números a, b, c a los cosenos, divide cada uno entre √(a² + b² + c²).
Por qué importa: el vector unitario en la dirección de a es simplemente lî + mĵ + nk̂.
Tipos de vectores
- Vector nulo 0: longitud 0, el inicio y el final son el mismo punto, la dirección no está fijada.
- Vector unitario â: longitud 1. â = a/|a|. î, ĵ, k̂ son los vectores unitarios de los ejes.
- Vectores con el mismo origen: parten del mismo punto.
- Vectores colineales (paralelos): están sobre la misma recta o sobre rectas paralelas; b = k a para algún número k.
- Vectores iguales: misma longitud y misma dirección, estén donde estén dibujados (vectores libres).
- Vector opuesto −a: misma longitud, dirección contraria.
Vector de posición y componentes
El vector de posición de un punto P(x, y, z) es la flecha desde el origen O hasta P: OP = xî + yĵ + zk̂. Su longitud es la distancia OP.
Aquí x î, y ĵ y z k̂ son las componentes vectoriales sobre los ejes, y x, y, z son las componentes escalares.
Vector que une dos puntos
De P₁(x₁, y₁, z₁) a P₂(x₂, y₂, z₂): P₁P₂ = (x₂ − x₁)î + (y₂ − y₁)ĵ + (z₂ − z₁)k̂; siempre "punta menos cola".
Suma de vectores y producto por un escalar
Ley del triángulo: pon la cola de b en la punta de a; la flecha desde la cola de a hasta la punta de b es a + b. La ley del paralelogramo dice lo mismo: dibuja a y b desde un mismo punto; la diagonal es a + b.
- Con componentes: suma por separado las partes de î, las de ĵ y las de k̂.
- La suma es conmutativa (a + b = b + a) y asociativa ((a + b) + c = a + (b + c)).
- a + (−a) = 0, y a − b = a + (−b).
Producto por un escalar
k a tiene longitud |k||a|. Si k > 0 apunta en el mismo sentido, si k < 0 apunta en sentido contrario, y si k = 0 es el vector nulo. k(a + b) = ka + kb.
Fórmula de la división de un segmento
Sean a y b los vectores de posición de A y B.
- División interna en la razón m : n: r = (m b + n a)/(m + n).
- División externa en la razón m : n: r = (m b − n a)/(m − n), con m ≠ n.
- Punto medio (m = n): r = (a + b)/2.
Por qué: AP : PB = m : n significa n·AP = m·PB, es decir, n(r − a) = m(b − r). Despeja r. Recuerda: m multiplica al extremo lejano b.
Además: el baricentro de un triángulo de vértices a, b, c es (a + b + c)/3.
Producto escalar y sus usos
a·b = |a||b| cos θ, donde θ (0 ≤ θ ≤ π) es el ángulo entre los vectores. El resultado es un número (escalar).
- Con componentes: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃.
- î·î = ĵ·ĵ = k̂·k̂ = 1; î·ĵ = ĵ·k̂ = k̂·î = 0.
- a·b = 0 ⇔ a ⊥ b (para vectores no nulos). a·a = |a|².
- Es conmutativo: a·b = b·a; y distributivo respecto a la suma.
Usos
- Ángulo: cos θ = a·b / (|a||b|).
- Proyección de a sobre b: a·b̂ = a·b/|b| (la "sombra" de a sobre b).
- Trabajo de una fuerza: W = F·d.
Producto vectorial y sus usos
a × b = |a||b| sin θ n̂, donde n̂ es el vector unitario perpendicular a a y a b, elegido con la regla de la mano derecha (curva los dedos de a hacia b y el pulgar indica n̂).
- î × ĵ = k̂, ĵ × k̂ = î, k̂ × î = ĵ; î × î = 0.
- b × a = −(a × b) (no es conmutativo).
- a × b = 0 ⇔ a ∥ b (para vectores no nulos).
- Con componentes se usa el determinante 3 × 3 con î, ĵ, k̂ en la primera fila, a₁ a₂ a₃ en la segunda y b₁ b₂ b₃ en la tercera.
Usos
- Área del paralelogramo de lados a, b = |a × b|; con diagonales d₁, d₂ = ½|d₁ × d₂|.
- Área del triángulo ABC = ½|AB × AC|.
- Un vector perpendicular a dos vectores dados; sin θ = |a × b| / (|a||b|).
- Momento (torque) τ = r × F en física.
Examen: las preguntas típicas son ángulo y proyección, área con el producto vectorial, vector unitario perpendicular a dos vectores y división de un segmento.
Fórmulas y definiciones clave
- |a| = √(x² + y² + z²)
- l = x/|a|, m = y/|a|, n = z/|a|; l² + m² + n² = 1
- â = a/|a|
- P₁P₂ = (x₂ − x₁)î + (y₂ − y₁)ĵ + (z₂ − z₁)k̂
- Interna: r = (mb + na)/(m + n); externa: r = (mb − na)/(m − n)
- a·b = |a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
- Proyección de a sobre b = a·b/|b|
- |a × b| = |a||b|sinθ; área del triángulo = ½|a × b|
Ejemplos resueltos
1. Halla el módulo y los cosenos directores de a = 2î − 3ĵ + 6k̂.
Paso 1: |a| = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7. Paso 2: l = 2/7, m = −3/7, n = 6/7. Comprobación: 4/49 + 9/49 + 36/49 = 1 ✓.
2. Halla el vector unitario en la dirección de a + b, donde a = î + 2ĵ − k̂ y b = 2î − ĵ + 3k̂.
Paso 1: a + b = 3î + ĵ + 2k̂. Paso 2: |a + b| = √(9 + 1 + 4) = √14. Paso 3: vector unitario = (3î + ĵ + 2k̂)/√14.
3. Halla el vector de posición del punto R que divide externamente a P(2, −1, 3) y Q(4, 5, −3) en la razón 2 : 1.
Paso 1: r = (2q − 1p)/(2 − 1). Paso 2: 2q = (8, 10, −6), p = (2, −1, 3). Paso 3: 2q − p = (6, 11, −9). Entonces r = 6î + 11ĵ − 9k̂.
4. Halla el ángulo entre a = î + ĵ − k̂ y b = î − ĵ + k̂.
Paso 1: a·b = 1 − 1 − 1 = −1. Paso 2: |a| = |b| = √3. Paso 3: cosθ = −1/3. Entonces θ = cos⁻¹(−1/3) ≈ 109.5°.
5. Halla la proyección de a = 2î + 3ĵ + 2k̂ sobre b = î + 2ĵ + k̂.
Paso 1: a·b = 2 + 6 + 2 = 10. Paso 2: |b| = √6. Paso 3: proyección = 10/√6 = 5√6/3 ≈ 4.08.
6. Halla un vector unitario perpendicular a a = 2î + 3ĵ − k̂ y a b = î − ĵ + 2k̂.
Paso 1: a × b = î(3·2 − (−1)(−1)) − ĵ(2·2 − (−1)·1) + k̂(2·(−1) − 3·1) = 5î − 5ĵ − 5k̂. Paso 2: |a × b| = 5√3. Paso 3: vector unitario = ±(î − ĵ − k̂)/√3.
7. Halla el área del triángulo de vértices A(1, 1, 2), B(2, 3, 5) y C(1, 5, 5).
Paso 1: AB = î + 2ĵ + 3k̂, AC = 0î + 4ĵ + 3k̂. Paso 2: AB × AC = î(6 − 12) − ĵ(3 − 0) + k̂(4 − 0) = −6î − 3ĵ + 4k̂. Paso 3: |AB × AC| = √(36 + 9 + 16) = √61. Área = ½√61 ≈ 3.9 unidades cuadradas.
8. Si |a| = 3, |b| = 4 y a·b = 6, halla |a × b| y |a + b|.
Paso 1: cosθ = 6/12 = 1/2, así que θ = 60° y sinθ = √3/2. Paso 2: |a × b| = 3 × 4 × √3/2 = 6√3. Paso 3: |a + b|² = |a|² + |b|² + 2a·b = 9 + 16 + 12 = 37, así que |a + b| = √37.
Errores comunes
- Escribir a × b = b × a. El orden importa: b × a = −(a × b).
- Olvidar la raíz cuadrada en |a|, o sumar las componentes en vez de sus cuadrados.
- En la fórmula de la división de un segmento, poner m con a en vez de con b. m va con el extremo lejano b: (mb + na)/(m + n).
- Usar signo + en el término central del determinante del producto vectorial. El término de ĵ siempre lleva un menos: −ĵ(a₁b₃ − a₃b₁).