Los puntos tienen una dirección: (x, y)
Dibuja dos rectas numéricas que se cruzan en ángulo recto. La horizontal es el eje x. La vertical es el eje y. Se encuentran en el origen O(0, 0).
Cada punto tiene dos números. El primero (x, llamado abscisa) dice cuánto hay que ir a la derecha o a la izquierda. El segundo (y, llamado ordenada) dice cuánto hay que subir o bajar. Así, (3, 2) significa 3 a la derecha y luego 2 hacia arriba.
Fórmula de la distancia
Toma A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂). Camina desde A en línea recta hasta quedar justo debajo de B. Ese recorrido es la diferencia en x, x₂ − x₁. Luego sube en línea recta hasta B. Ese recorrido es la diferencia en y, y₂ − y₁. Los dos recorridos forman un ángulo recto, así que AB es la hipotenusa de un triángulo rectángulo.
Por Pitágoras: AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²].
No importa si una diferencia sale negativa, porque al elevarla al cuadrado se vuelve positiva. La distancia de P(x, y) al origen es √(x² + y²).
Usos de la fórmula de la distancia
- Comprobar si son colineales: tres puntos están en una misma recta si las dos distancias pequeñas suman la grande.
- Tipo de triángulo: halla los tres lados. Lados iguales indican triángulo isósceles o equilátero; si a² + b² = c², es rectángulo.
- Punto equidistante: si P está igual de lejos de A y de B, escribe PA = PB, eleva al cuadrado ambos lados y resuelve.
Fórmula de sección (división interna)
Un punto P está en el segmento AB, entre A y B. Si AP : PB = m : n, decimos que P divide AB internamente en la razón m : n.
Imagina AB cortado en m + n partes iguales. P está a m partes de A. Así, P avanza m/(m + n) del camino de A a B. Eso da
P = ( (m·x₂ + n·x₁)/(m + n) , (m·y₂ + n·y₁)/(m + n) )
Por qué funciona: dibuja pequeños triángulos rectángulos debajo de AP y de PB. Tienen los mismos ángulos, así que son semejantes, y sus diferencias están en la razón m : n. (Mira Triángulos semejantes.)
Fórmula del punto medio
Si m = n, P es el punto medio: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). Solo tienes que promediar las x y promediar las y.
Cómo hallar la razón
Si no conoces la razón, llámala k : 1. Ponla en la fórmula, compárala con la x (o la y) dada y despeja k. Para saber dónde el eje x corta a AB, haz y = 0.
Puntos de trisección
Dos puntos cortan AB en tres partes iguales. Dividen AB en 1 : 2 y en 2 : 1.
Pruébalo tú mismo (práctica)
En casa: Pega dos cintas en un suelo de baldosas como ejes x e y. Párate en la baldosa (1, 1). Pon una chancla en la baldosa (4, 5). Cuenta 3 baldosas a lo ancho y 4 hacia arriba. Ahora estira un hilo recto desde ti hasta la chancla y mídelo en anchos de baldosa: son 5. Acabas de comprobar la fórmula de la distancia.
En el 3D: ve al último paso. Pon B en (7, 1) y m : n en 1 : 1. Predice P antes de mirar. (Respuesta: (4, 1), el punto medio.)
Fórmulas y definiciones clave
- Distancia AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
- Distancia al origen = √(x² + y²)
- Fórmula de sección (m : n, interna): P = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))
- Punto medio = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
- Razón desconocida: toma k : 1 y despeja k
Ejemplos resueltos
1. Halla la distancia entre A(1, 1) y B(4, 5).
Diferencia en x = 4 − 1 = 3. Diferencia en y = 5 − 1 = 4. AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 unidades.
2. Halla la distancia del punto P(−6, 8) al origen.
OP = √[(−6)² + 8²] = √(36 + 64) = √100 = 10 unidades.
3. Halla el punto medio de A(2, −3) y B(6, 7).
x = (2 + 6)/2 = 4. y = (−3 + 7)/2 = 2. Punto medio = (4, 2).
4. Halla el punto que divide internamente a A(1, 1) y B(7, 4) en la razón 2 : 1.
m = 2, n = 1. x = (2×7 + 1×1)/3 = 15/3 = 5. y = (2×4 + 1×1)/3 = 9/3 = 3. P = (5, 3).
5. ¿Están A(1, 2), B(3, 6) y C(4, 8) en una misma recta?
AB = √(4 + 16) = √20 = 2√5. BC = √(1 + 4) = √5. AC = √(9 + 36) = √45 = 3√5. AB + BC = 2√5 + √5 = 3√5 = AC. Entonces sí, son colineales.
6. Halla el punto del eje x que equidista de A(2, −5) y B(−2, 9).
El punto es P(x, 0). PA² = PB²: (x − 2)² + 25 = (x + 2)² + 81. x² − 4x + 4 + 25 = x² + 4x + 4 + 81. −8x = 56, así que x = −7. P = (−7, 0).
7. ¿En qué razón divide el punto (−1, 6) al segmento que une A(−3, 10) y B(6, −8)?
Toma la razón k : 1. x = (6k − 3)/(k + 1) = −1. Entonces 6k − 3 = −k − 1, 7k = 2, k = 2/7. Razón = 2 : 7. Comprueba y: (−8×2 + 10×7)/9 = 54/9 = 6 ✓.
8. Halla los puntos de trisección del segmento que une A(2, −2) y B(−7, 4).
P divide AB en 1 : 2: P = ((−7 + 4)/3, (4 − 4)/3) = (−1, 0). Q divide AB en 2 : 1: Q = ((−14 + 2)/3, (8 − 2)/3) = (−4, 2).
Errores comunes
- Olvidar la raíz cuadrada al final: √25 = 5, no 25.
- Cambiar m y n en la fórmula de sección. m va con el segundo punto (x₂) y n con el primero (x₁).
- Escribir (x₂ + x₁) en vez de (x₂ − x₁) en la fórmula de la distancia. La distancia usa la diferencia, así que se resta.
- Elevar mal al cuadrado una diferencia negativa: (−3)² = 9, no −9.