¿Qué es el teorema de Pitágoras?
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de exactamente 90°. El lado opuesto a ese ángulo es el más largo y se llama hipotenusa (c). Los otros dos lados (a y b) se llaman catetos.
El teorema de Pitágoras dice que, si construyes un cuadrado sobre cada lado, el área del cuadrado grande sobre la hipotenusa es exactamente igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados pequeños.
¿Por qué funciona? Una prueba visual
Toma cuatro copias del mismo triángulo rectángulo y colócalas dentro de un cuadrado grande de lado (a + b). El hueco del centro es un cuadrado inclinado de lado c, así que su área es c².
Ahora mueve los mismos cuatro triángulos a otra posición dentro del mismo cuadrado grande. Esta vez el hueco son dos cuadrados: uno de área a² y otro de área b². El cuadrado grande y los cuatro triángulos no han cambiado, así que el hueco tiene que ser el mismo: a² + b² = c². Pulsa play en la animación para ver cómo se llenan los cuadrados.
El recíproco del teorema de Pitágoras
El teorema también funciona al revés. Si los lados de un triángulo cumplen a² + b² = c², el triángulo tiene un ángulo recto opuesto al lado c. Los albañiles lo usan con una cuerda 3-4-5 para marcar esquinas perfectas.
Ternas pitagóricas
Los números enteros que cumplen la regla se llaman ternas pitagóricas. Algunas muy conocidas son 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 y 7-24-25. Cualquier múltiplo de una terna (6-8-10, 9-12-15) también es una terna.
Fórmulas y definiciones clave
- a² + b² = c² (c es la hipotenusa)
- c = √(a² + b²)
- a = √(c² − b²)
- Hipotenusa = lado opuesto al ángulo de 90°, siempre el lado más largo
Ejemplos resueltos
1. Los dos lados cortos de un triángulo rectángulo miden 6 cm y 8 cm. Halla la hipotenusa.
c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, así que c = √100 = 10 cm.
2. Una escalera de 13 m se apoya en una pared. Su pie está a 5 m de la pared. ¿A qué altura de la pared llega?
La escalera es la hipotenusa. h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, así que h = 12 m.
3. ¿Es rectángulo un triángulo de lados 7, 10 y 12?
Comprueba con el lado más largo: 7² + 10² = 49 + 100 = 149, pero 12² = 144. No son iguales, así que no es un triángulo rectángulo.
Errores comunes
- Sumar la hipotenusa como si fuera un cateto. Pon siempre el lado más largo solo en un miembro: c² = a² + b².
- Olvidar la raíz cuadrada al final: c² = 100 significa c = 10, no 100.
- Usar el teorema en un triángulo que no tiene ángulo recto.
- Escribir √(a² + b²) = a + b. La raíz cuadrada no se puede repartir sobre una suma.