Was ist der Satz des Pythagoras?
Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel von genau 90°. Die Seite gegenüber diesem Winkel ist die längste Seite und heißt Hypotenuse (c). Die beiden anderen Seiten (a und b) heißen Katheten.
Der Satz des Pythagoras sagt: Zeichnest du über jeder Seite ein Quadrat, dann ist das große Quadrat über der Hypotenuse genau so groß wie die beiden kleineren Quadrate zusammen.
Warum stimmt das? Ein Beweis zum Anschauen
Nimm vier gleiche rechtwinklige Dreiecke und lege sie in ein großes Quadrat mit der Seitenlänge (a + b). Die freie Fläche in der Mitte ist ein schiefes Quadrat mit der Seite c, also hat sie den Flächeninhalt c².
Schiebe nun dieselben vier Dreiecke in eine andere Anordnung im selben großen Quadrat. Jetzt besteht die freie Fläche aus zwei Quadraten: eines mit dem Inhalt a² und eines mit dem Inhalt b². Das große Quadrat und die vier Dreiecke haben sich nicht verändert, also muss auch die freie Fläche gleich groß sein: a² + b² = c². Drücke auf Play und sieh zu, wie sich die Quadrate füllen.
Der Kehrsatz des Pythagoras
Der Satz funktioniert auch rückwärts. Wenn die Seiten eines Dreiecks a² + b² = c² erfüllen, dann hat das Dreieck gegenüber der Seite c einen rechten Winkel. Bauarbeiter nutzen das mit einer 3-4-5-Schnur, um perfekte Ecken zu markieren.
Pythagoräische Tripel
Ganze Zahlen, die zur Regel passen, heißen pythagoräische Tripel. Bekannte sind 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 und 7-24-25. Auch jedes Vielfache eines Tripels (6-8-10, 9-12-15) ist wieder ein Tripel.
Wichtige Formeln und Definitionen
- a² + b² = c² (c ist die Hypotenuse)
- c = √(a² + b²)
- a = √(c² − b²)
- Hypotenuse = Seite gegenüber dem 90°-Winkel, immer die längste Seite
Gelöste Beispiele
1. Die beiden kürzeren Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 6 cm und 8 cm lang. Berechne die Hypotenuse.
c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, also c = √100 = 10 cm.
2. Eine 13 m lange Leiter lehnt an einer Wand. Ihr Fuß ist 5 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie an der Wand?
Die Leiter ist die Hypotenuse. h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, also h = 12 m.
3. Ist ein Dreieck mit den Seiten 7, 10 und 12 rechtwinklig?
Prüfe mit der längsten Seite: 7² + 10² = 49 + 100 = 149, aber 12² = 144. Die Werte sind nicht gleich, also ist es kein rechtwinkliges Dreieck.
Häufige Fehler
- Die Hypotenuse als Kathete addieren. Setze die längste Seite immer allein auf eine Seite: c² = a² + b².
- Die Wurzel am Ende vergessen: c² = 100 bedeutet c = 10, nicht 100.
- Den Satz bei einem Dreieck ohne rechten Winkel anwenden.
- √(a² + b²) = a + b schreiben. Eine Wurzel darf man nicht über eine Summe aufteilen.