Un point a une adresse : (x, y)
Dessine deux droites graduées qui se croisent à angle droit. La droite couchée est l'axe des x (abscisses). La droite debout est l'axe des y (ordonnées). Elles se coupent à l'origine O(0, 0).
Chaque point a deux nombres. Le premier (x, l'abscisse) dit de combien aller à droite ou à gauche. Le second (y, l'ordonnée) dit de combien monter ou descendre. Ainsi (3, 2) veut dire 3 vers la droite, puis 2 vers le haut.
Formule de distance
Prends A(x₁, y₁) et B(x₂, y₂). Marche depuis A tout droit jusqu'à te retrouver sous B. Ce trajet est l'écart en x, x₂ − x₁. Puis monte tout droit jusqu'à B. Ce trajet est l'écart en y, y₂ − y₁. Les deux trajets se rencontrent à angle droit, donc AB est l'hypoténuse d'un triangle rectangle.
Avec Pythagore : AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²].
Un écart négatif n'est pas un problème, car le carré le rend positif. La distance de P(x, y) à l'origine est √(x² + y²).
Utiliser la formule de distance
- Test d'alignement : trois points sont sur une même droite si les deux petites distances s'additionnent pour donner la grande.
- Type de triangle : calcule les trois côtés. Des côtés égaux indiquent un triangle isocèle ou équilatéral ; si a² + b² = c², il est rectangle.
- Point équidistant : si P est à égale distance de A et de B, écris PA = PB, élève au carré des deux côtés et résous.
Formule de partage (division intérieure)
Un point P est sur le segment AB, entre A et B. Si AP : PB = m : n, on dit que P partage AB intérieurement dans le rapport m : n.
Imagine AB coupé en m + n morceaux égaux. P est à m morceaux de A. Donc P avance de m/(m + n) du chemin de A vers B. On obtient
P = ( (m·x₂ + n·x₁)/(m + n) , (m·y₂ + n·y₁)/(m + n) )
Pourquoi ça marche : dessine de petits triangles rectangles sous AP et sous PB. Ils ont les mêmes angles, donc ils sont semblables, et leurs écarts sont dans le rapport m : n. (Voir Triangles semblables.)
Formule du milieu
Si m = n, P est le milieu : ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). Il suffit de faire la moyenne des x et la moyenne des y.
Trouver le rapport
Si le rapport est inconnu, appelle-le k : 1. Mets-le dans la formule, compare avec le x (ou le y) donné et résous pour k. Pour trouver où l'axe des x coupe AB, pose y = 0.
Points de trisection
Deux points coupent AB en trois parties égales. Ils partagent AB dans les rapports 1 : 2 et 2 : 1.
Essaie toi-même (pratique)
À la maison : Colle deux lignes de ruban sur un carrelage comme axes x et y. Place-toi sur la dalle (1, 1). Pose une chaussure sur la dalle (4, 5). Compte 3 dalles en largeur et 4 dalles en hauteur. Tends maintenant une ficelle droite entre toi et la chaussure et mesure-la en largeurs de dalle : elle vaut 5. Tu viens de vérifier la formule de distance.
Dans la 3D : va à la dernière étape. Mets B en (7, 1) et m : n à 1 : 1. Prévois P avant de regarder. (Réponse : (4, 1), le milieu.)
Formules et définitions clés
- Distance AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
- Distance à l'origine = √(x² + y²)
- Formule de partage (m : n, intérieur) : P = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))
- Milieu = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
- Rapport inconnu : prendre k : 1, puis résoudre pour k
Exemples résolus
1. Trouve la distance entre A(1, 1) et B(4, 5).
Écart en x = 4 − 1 = 3. Écart en y = 5 − 1 = 4. AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 unités.
2. Trouve la distance du point P(−6, 8) à l'origine.
OP = √[(−6)² + 8²] = √(36 + 64) = √100 = 10 unités.
3. Trouve le milieu de A(2, −3) et B(6, 7).
x = (2 + 6)/2 = 4. y = (−3 + 7)/2 = 2. Milieu = (4, 2).
4. Trouve le point qui partage A(1, 1) et B(7, 4) intérieurement dans le rapport 2 : 1.
m = 2, n = 1. x = (2×7 + 1×1)/3 = 15/3 = 5. y = (2×4 + 1×1)/3 = 9/3 = 3. P = (5, 3).
5. Les points A(1, 2), B(3, 6) et C(4, 8) sont-ils sur une même droite ?
AB = √(4 + 16) = √20 = 2√5. BC = √(1 + 4) = √5. AC = √(9 + 36) = √45 = 3√5. AB + BC = 2√5 + √5 = 3√5 = AC. Donc oui, ils sont alignés.
6. Trouve le point de l'axe des x équidistant de A(2, −5) et B(−2, 9).
Le point est P(x, 0). PA² = PB² : (x − 2)² + 25 = (x + 2)² + 81. x² − 4x + 4 + 25 = x² + 4x + 4 + 81. −8x = 56, donc x = −7. P = (−7, 0).
7. Dans quel rapport le point (−1, 6) partage-t-il le segment joignant A(−3, 10) et B(6, −8) ?
Prends le rapport k : 1. x = (6k − 3)/(k + 1) = −1. Donc 6k − 3 = −k − 1, 7k = 2, k = 2/7. Rapport = 2 : 7. Vérifie avec y : (−8×2 + 10×7)/9 = 54/9 = 6 ✓.
8. Trouve les points de trisection du segment joignant A(2, −2) et B(−7, 4).
P partage AB dans le rapport 1 : 2 : P = ((−7 + 4)/3, (4 − 4)/3) = (−1, 0). Q partage AB dans le rapport 2 : 1 : Q = ((−14 + 2)/3, (8 − 2)/3) = (−4, 2).
Erreurs fréquentes
- Oublier la racine carrée à la fin : √25 = 5, pas 25.
- Inverser m et n dans la formule de partage. m va avec le second point (x₂), n avec le premier (x₁).
- Écrire (x₂ + x₁) au lieu de (x₂ − x₁) dans la formule de distance. La distance utilise l'écart, donc on soustrait.
- Mal élever au carré un écart négatif : (−3)² = 9, pas −9.