Qu'est-ce que le théorème de Pythagore ?
Un triangle rectangle a un angle d'exactement 90°. Le côté en face de cet angle est le plus long : on l'appelle l'hypoténuse (c). Les deux autres côtés (a et b) sont les côtés de l'angle droit.
Le théorème de Pythagore dit que si on construit un carré sur chaque côté, l'aire du grand carré sur l'hypoténuse est exactement égale à la somme des aires des deux petits carrés.
Pourquoi ça marche ? Une preuve visuelle
Prends quatre copies du même triangle rectangle et place-les dans un grand carré de côté (a + b). Le vide au milieu est un carré penché de côté c, donc son aire est c².
Déplace maintenant les quatre mêmes triangles pour les ranger autrement dans le même grand carré. Cette fois, le vide forme deux carrés : un d'aire a² et un d'aire b². Le grand carré et les quatre triangles n'ont pas changé, donc le vide a la même aire : a² + b² = c². Appuie sur lecture dans l'animation pour voir les carrés se remplir.
Réciproque du théorème de Pythagore
Le théorème marche aussi dans l'autre sens. Si les côtés d'un triangle vérifient a² + b² = c², alors le triangle a un angle droit en face du côté c. Les maçons s'en servent avec une corde 3-4-5 pour marquer des angles parfaits.
Triplets pythagoriciens
Les nombres entiers qui vérifient la règle s'appellent des triplets pythagoriciens. Les plus connus sont 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 et 7-24-25. Tout multiple d'un triplet (6-8-10, 9-12-15) est aussi un triplet.
Formules et définitions clés
- a² + b² = c² (c est l'hypoténuse)
- c = √(a² + b²)
- a = √(c² − b²)
- Hypoténuse = côté opposé à l'angle de 90°, toujours le plus long côté
Exemples résolus
1. Les deux petits côtés d'un triangle rectangle mesurent 6 cm et 8 cm. Trouve l'hypoténuse.
c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, donc c = √100 = 10 cm.
2. Une échelle de 13 m est appuyée contre un mur. Son pied est à 5 m du mur. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ?
L'échelle est l'hypoténuse. h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, donc h = 12 m.
3. Un triangle de côtés 7, 10 et 12 est-il rectangle ?
On vérifie avec le plus long côté : 7² + 10² = 49 + 100 = 149, mais 12² = 144. Ce n'est pas égal, donc le triangle n'est pas rectangle.
Erreurs fréquentes
- Mettre l'hypoténuse comme l'un des petits côtés. Garde toujours le plus long côté seul d'un côté de l'égalité : c² = a² + b².
- Oublier la racine carrée à la fin : c² = 100 donne c = 10, pas 100.
- Utiliser le théorème dans un triangle qui n'a pas d'angle droit.
- Écrire √(a² + b²) = a + b. Une racine carrée ne se sépare pas sur une addition.