Figures semblables
Des figures semblables ont la même forme. Leur taille peut être différente. Des figures isométriques (superposables) ont la même forme et la même taille. Donc deux figures superposables sont toujours semblables, mais deux figures semblables ne sont pas toujours superposables.
Tous les cercles sont semblables. Tous les carrés sont semblables. Tous les triangles équilatéraux sont semblables. Mais deux rectangles ne sont pas forcément semblables : un rectangle long et fin n'a pas la même forme qu'un rectangle large.
Quand deux polygones sont-ils semblables ?
Deux polygones qui ont le même nombre de côtés sont semblables quand (1) leurs angles correspondants sont égaux et (2) leurs côtés correspondants sont proportionnels. Les deux conditions sont nécessaires. Un carré et un losange de même côté ont des rapports de côtés égaux mais des angles différents : ils ne sont pas semblables.
Triangles semblables
Le triangle ΔABC est semblable à ΔPQR (on écrit ΔABC ~ ΔPQR) quand ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R et
AB/PQ = BC/QR = CA/RP
L'ordre des lettres compte. A correspond à P, B à Q, C à R. Écris toujours les lettres correspondantes dans le même ordre.
Le rapport commun s'appelle le coefficient d'agrandissement (ou facteur d'échelle). S'il vaut 2, chaque côté du grand triangle est 2 fois le côté correspondant du petit.
Théorème de Thalès (BPT)
Énoncé : si on trace une droite parallèle à un côté d'un triangle et qu'elle coupe les deux autres côtés en deux points différents, alors elle partage ces deux côtés dans le même rapport.
Dans ΔABC, si DE ∥ BC avec D sur AB et E sur AC, alors AD/DB = AE/EC. (Ce résultat s'appelle aussi théorème de Thalès.)
Idée de la preuve (en mots simples)
- Joins BE et CD. Trace les hauteurs DM ⟂ AC et EN ⟂ AB.
- Aire de ΔADE = ½ × AD × EN et aire de ΔBDE = ½ × DB × EN. Donc aire(ADE)/aire(BDE) = AD/DB.
- De la même façon, aire(ADE)/aire(DEC) = AE/EC.
- Les triangles ΔBDE et ΔDEC ont la même base DE et se trouvent entre les mêmes parallèles DE et BC, donc leurs aires sont égales.
- Donc AD/DB = AE/EC.
Autres formes utiles : AD/AB = AE/AC et DB/AB = EC/AC.
Réciproque de Thalès
Si une droite coupe deux côtés d'un triangle dans le même rapport, alors elle est parallèle au troisième côté. Dans la 3D, quand AE : EC devient égal à AD : DB, la droite DE devient verte (parallèle).
Critères de similitude : AA, SSS, SAS
Tu n'as pas besoin de vérifier les 6 faits (3 angles et 3 rapports). Un seul de ces tests suffit :
- AAA / AA : si deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre, les triangles sont semblables. (Les troisièmes angles sont alors égaux automatiquement, car la somme des angles vaut 180°.)
- SSS : si les trois paires de côtés correspondants sont dans le même rapport, les triangles sont semblables.
- SAS : si un angle d'un triangle est égal à un angle de l'autre, et si les côtés qui forment cet angle sont dans le même rapport, les triangles sont semblables.
Attention : pour SAS, l'angle doit être celui qui est entre les deux côtés.
À toi de jouer (pratique)
Test de l'ombre : par une journée ensoleillée, plante une règle de 30 cm bien droite au sol et mesure son ombre. Au même moment, mesure l'ombre d'un poteau ou d'un arbre. Règle/son ombre = poteau/son ombre, car les rayons du soleil forment des triangles semblables. Trouve la hauteur du poteau.
Test papier pour Thalès : dessine un triangle quelconque. Trace une droite parallèle à un côté avec une équerre. Mesure les quatre morceaux sur les deux autres côtés et fais les divisions. Les deux rapports sont presque égaux.
Dans la 3D : à la dernière étape, prévois AD : DB pour la position 3, puis glisse et vérifie.
Formules et définitions clés
- ΔABC ~ ΔPQR ⇔ ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R et AB/PQ = BC/QR = CA/RP
- Thalès (BPT) : DE ∥ BC ⇒ AD/DB = AE/EC (aussi AD/AB = AE/AC)
- Réciproque de Thalès : AD/DB = AE/EC ⇒ DE ∥ BC
- AA : deux paires d'angles égaux ⇒ semblables
- SSS : AB/PQ = BC/QR = CA/RP ⇒ semblables
- SAS : ∠A = ∠P et AB/PQ = AC/PR ⇒ semblables
Exemples résolus
1. ΔABC ~ ΔPQR avec AB = 4, BC = 6, CA = 5 et PQ = 8. Trouve QR et RP.
Coefficient = PQ/AB = 8/4 = 2. QR = 2 × 6 = 12. RP = 2 × 5 = 10.
2. Dans ΔABC, DE ∥ BC, AD = 2 cm, DB = 3 cm, AE = 4 cm. Trouve EC.
Par Thalès, AD/DB = AE/EC. 2/3 = 4/EC. EC = 4 × 3 ÷ 2 = 6 cm.
3. Dans ΔABC, D et E sont sur AB et AC avec AD = 3, DB = 6, AE = 2, EC = 4. A-t-on DE ∥ BC ?
AD/DB = 3/6 = 1/2. AE/EC = 2/4 = 1/2. Les rapports sont égaux, donc par la réciproque de Thalès, DE ∥ BC.
4. Deux triangles ont pour angles 50°, 60°, 70° et 60°, 70°, 50°. Sont-ils semblables ?
Oui. Les angles correspondent (50° avec 50°, 60° avec 60°, 70° avec 70°), donc par AA ils sont semblables.
5. Les côtés de ΔABC mesurent 3, 4, 6 et ceux de ΔPQR mesurent 9, 12, 18. Sont-ils semblables ?
9/3 = 3, 12/4 = 3, 18/6 = 3. Tous les rapports sont égaux, donc les triangles sont semblables par SSS.
6. Une fille de 1,5 m projette une ombre de 2 m. Au même moment, un poteau projette une ombre de 12 m. Trouve la hauteur du poteau.
Les rayons du soleil font le même angle et les deux se tiennent droits, donc les triangles sont semblables (AA). Hauteur/12 = 1,5/2. Hauteur = 12 × 0,75 = 9 m.
7. Dans ΔABC, DE ∥ BC avec AD = x, DB = x − 2, AE = x + 2, EC = x − 1. Trouve x.
Par Thalès, x/(x − 2) = (x + 2)/(x − 1). Produit en croix : x(x − 1) = (x + 2)(x − 2). x² − x = x² − 4. Donc x = 4.
8. Dans ΔPQR, ∠P = 70°. Dans ΔXYZ, ∠X = 70°, PQ = 3, PR = 5, XY = 6, XZ = 10. Sont-ils semblables ?
XY/PQ = 6/3 = 2 et XZ/PR = 10/5 = 2. Les angles compris ∠P = ∠X = 70°. Donc ΔPQR ~ ΔXYZ par SAS.
Erreurs fréquentes
- Mélanger l'ordre des lettres. Dans ΔABC ~ ΔPQR, AB correspond à PQ, pas à QR.
- Croire que semblable veut dire égal. Des triangles semblables peuvent avoir des tailles différentes ; des triangles superposables sont égaux.
- Utiliser SAS avec un angle qui n'est pas entre les deux côtés.
- Dans Thalès, écrire AD/AB = AE/EC. Garde le même type de morceaux des deux côtés : AD/DB = AE/EC ou AD/AB = AE/AC.