Figuras semejantes
Las figuras semejantes tienen la misma forma. Su tamaño puede ser distinto. Las figuras congruentes tienen la misma forma y el mismo tamaño. Así que toda pareja congruente también es semejante, pero no toda pareja semejante es congruente.
Todos los círculos son semejantes. Todos los cuadrados son semejantes. Todos los triángulos equiláteros son semejantes. Pero dos rectángulos no tienen por qué serlo: uno largo y delgado y otro ancho tienen formas distintas.
¿Cuándo son semejantes dos polígonos?
Dos polígonos con el mismo número de lados son semejantes cuando (1) sus ángulos correspondientes son iguales y (2) sus lados correspondientes están en la misma razón. Hacen falta las dos condiciones. Un cuadrado y un rombo con el mismo lado tienen razones de lados iguales pero ángulos distintos, así que no son semejantes.
Triángulos semejantes
El ΔABC es semejante al ΔPQR (se escribe ΔABC ~ ΔPQR) cuando ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R y
AB/PQ = BC/QR = CA/RP
El orden de las letras importa. A corresponde a P, B a Q y C a R. Escribe siempre las letras correspondientes en el mismo orden.
La razón común se llama factor de escala. Si vale 2, cada lado del triángulo grande es 2 veces el lado correspondiente del pequeño.
Teorema de Tales (BPT)
Enunciado: Si se traza una recta paralela a un lado de un triángulo y corta a los otros dos lados en dos puntos distintos, entonces divide esos dos lados en la misma razón.
En el ΔABC, si DE ∥ BC con D en AB y E en AC, entonces AD/DB = AE/EC. (Este resultado también se llama teorema de Tales.)
Idea de la demostración (en palabras simples)
- Une BE y CD. Traza las alturas DM ⟂ AC y EN ⟂ AB.
- Área del ΔADE = ½ × AD × EN y área del ΔBDE = ½ × DB × EN. Así que ar(ADE)/ar(BDE) = AD/DB.
- Del mismo modo, ar(ADE)/ar(DEC) = AE/EC.
- El ΔBDE y el ΔDEC tienen la misma base DE y están entre las mismas paralelas DE y BC, así que sus áreas son iguales.
- Por tanto AD/DB = AE/EC.
Otras formas útiles: AD/AB = AE/AC y DB/AB = EC/AC.
Recíproco del teorema de Tales
Si una recta corta a dos lados de un triángulo en la misma razón, entonces es paralela al tercer lado. En el 3D, cuando AE : EC se iguala a AD : DB, la recta DE se vuelve verde (paralela).
Criterios de semejanza: AA, SSS (LLL), SAS (LAL)
No hace falta comprobar los 6 datos (3 ángulos y 3 razones). Basta con una de estas pruebas:
- AAA / AA: Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro, los triángulos son semejantes. (Los terceros ángulos coinciden solos, porque los ángulos suman 180°.)
- SSS (LLL): Si los tres pares de lados correspondientes están en la misma razón, los triángulos son semejantes.
- SAS (LAL): Si un ángulo de un triángulo es igual a un ángulo del otro, y los lados que forman ese ángulo están en la misma razón, los triángulos son semejantes.
Ojo: en SAS el ángulo debe ser el que está entre los dos lados.
Pruébalo tú (práctica)
Prueba de la sombra: En un día soleado, coloca una regla de 30 cm derecha en el suelo y mide su sombra. A la misma hora mide la sombra de un poste o de un árbol. Regla/su sombra = poste/su sombra, porque los rayos del sol forman triángulos semejantes. Calcula la altura del poste.
Prueba en papel para Tales: Dibuja un triángulo cualquiera. Traza una recta paralela a un lado con una escuadra. Mide las cuatro partes de los otros dos lados y divide. Las dos razones salen casi iguales.
En el 3D: en el último paso, predice AD : DB para la posición 3 y luego desliza y comprueba.
Fórmulas y definiciones clave
- ΔABC ~ ΔPQR ⇔ ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R y AB/PQ = BC/QR = CA/RP
- Tales (BPT): DE ∥ BC ⇒ AD/DB = AE/EC (también AD/AB = AE/AC)
- Recíproco de Tales: AD/DB = AE/EC ⇒ DE ∥ BC
- AA: dos pares de ángulos iguales ⇒ semejantes
- SSS (LLL): AB/PQ = BC/QR = CA/RP ⇒ semejantes
- SAS (LAL): ∠A = ∠P y AB/PQ = AC/PR ⇒ semejantes
Ejemplos resueltos
1. ΔABC ~ ΔPQR con AB = 4, BC = 6, CA = 5 y PQ = 8. Halla QR y RP.
Factor de escala = PQ/AB = 8/4 = 2. QR = 2 × 6 = 12. RP = 2 × 5 = 10.
2. En el ΔABC, DE ∥ BC, AD = 2 cm, DB = 3 cm, AE = 4 cm. Halla EC.
Por Tales, AD/DB = AE/EC. 2/3 = 4/EC. EC = 4 × 3 ÷ 2 = 6 cm.
3. En el ΔABC, D y E están en AB y AC con AD = 3, DB = 6, AE = 2, EC = 4. ¿Es DE ∥ BC?
AD/DB = 3/6 = 1/2. AE/EC = 2/4 = 1/2. Las razones son iguales, así que por el recíproco de Tales, DE ∥ BC.
4. Dos triángulos tienen ángulos 50°, 60°, 70° y 60°, 70°, 50°. ¿Son semejantes?
Sí. Los ángulos coinciden (50° con 50°, 60° con 60°, 70° con 70°), así que por AA son semejantes.
5. Los lados del ΔABC miden 3, 4, 6 y los del ΔPQR miden 9, 12, 18. ¿Son semejantes?
9/3 = 3, 12/4 = 3, 18/6 = 3. Todas las razones son iguales, así que los triángulos son semejantes por SSS (LLL).
6. Una niña de 1.5 m de altura proyecta una sombra de 2 m. A la misma hora un poste proyecta una sombra de 12 m. Halla la altura del poste.
Los rayos del sol forman el mismo ángulo y ambos están derechos, así que los triángulos son semejantes (AA). Altura/12 = 1.5/2. Altura = 12 × 0.75 = 9 m.
7. En el ΔABC, DE ∥ BC con AD = x, DB = x − 2, AE = x + 2, EC = x − 1. Halla x.
Por Tales, x/(x − 2) = (x + 2)/(x − 1). Multiplica en cruz: x(x − 1) = (x + 2)(x − 2). x² − x = x² − 4. Entonces x = 4.
8. En el ΔPQR, ∠P = 70°. En el ΔXYZ, ∠X = 70°, PQ = 3, PR = 5, XY = 6, XZ = 10. ¿Son semejantes?
XY/PQ = 6/3 = 2 y XZ/PR = 10/5 = 2. Los ángulos comprendidos son ∠P = ∠X = 70°. Entonces ΔPQR ~ ΔXYZ por SAS (LAL).
Errores comunes
- Confundir el orden de las letras. En ΔABC ~ ΔPQR, AB corresponde a PQ, no a QR.
- Pensar que semejante significa igual. Los triángulos semejantes pueden tener distinto tamaño; los congruentes son iguales.
- Usar SAS con un ángulo que no está entre los dos lados.
- En Tales escribir AD/AB = AE/EC. Mantén el mismo tipo de partes en ambos lados: AD/DB = AE/EC o AD/AB = AE/AC.