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Ähnliche Dreiecke

Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie die gleiche Form haben, aber vielleicht eine andere Größe. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn ihre passenden Winkel gleich groß sind und ihre passenden Seiten im selben Verhältnis stehen. Strahlensatz (BPT): Eine Gerade parallel zu einer Dreiecksseite teilt die beiden anderen Seiten im gleichen Verhältnis; auch die Umkehrung stimmt. Ähnlichkeit kannst du mit WW, SSS oder SWS beweisen.

🎬 Geschichte Schritt für Schritt

  1. Hier siehst du ein kleines Dreieck ABC und ein großes Dreieck PQR. Beide haben die gleiche Form, nur die Größe ist anders. Wir nennen sie ähnlich.
  2. Schau auf die Seiten: Aus 4 wurde 8, aus 6 wurde 12, aus 5 wurde 10. Jede Seite ist 2-mal so lang. Die farbigen Winkel haben sich gar nicht verändert.
  3. Nimm jetzt ein Dreieck ABC und zeichne DE parallel zu BC. Zähle die Perlen: AD ist 2 und DB ist 3. AE ist 2 und EC ist 3. Beide Seiten sind im gleichen Verhältnis geteilt, nämlich 2 : 3.
  4. Es geht auch umgekehrt. E startet bei 3 : 2, und DE ist rot und schief. Schiebe E auf 2 : 3, das gleiche Verhältnis wie bei AB. Jetzt wird DE grün: Die Linie ist parallel zu BC.
  5. Drei schnelle Tests zeigen, dass zwei Dreiecke ähnlich sind: WW (zwei Winkel stimmen überein), SSS (alle drei Seitenverhältnisse stimmen) und SWS (zwei Seitenverhältnisse und der Winkel dazwischen stimmen).
  6. Freies Spiel: Bewege DE mit dem Regler und sieh, dass die beiden Verhältnisse gleich bleiben. Ändere den Faktor k des großen Dreiecks und sieh, dass sich jede Seite um k ändert.

Tipp: Zieh die 3D-Szene, um sie zu drehen. Mit zwei Fingern zoomst du.

🤔 Häufige Zweifel, geklärt

Sind kongruente Dreiecke auch ähnlich?

Ja. Kongruente Dreiecke sind ähnlich mit dem Streckfaktor 1: gleiche Form und gleiche Größe.

Ändern sich die Winkel, wenn ein Dreieck größer wird?

Nein. In der 3D-Szene bleibt jeder farbige Winkel genau gleich groß. Nur die Seiten wachsen.

Warum muss DE für den Strahlensatz parallel sein?

Kippt DE, wird eine Seite stärker geteilt als die andere und die Verhältnisse passen nicht mehr. Die rote schiefe Linie in Schritt 3 zeigt das.

Darf ich AD/AB = AE/AC statt AD/DB = AE/EC benutzen?

Ja. Beides stimmt, wenn DE ∥ BC. Zähle die Perlen: 2 von 5 auf beiden Seiten.

Warum reicht WW und man braucht nicht AAA?

Die Winkel eines Dreiecks ergeben 180°, also passt der dritte Winkel automatisch, wenn zwei passen. WW und AAA sind derselbe Test.

Darf der Winkel bei SWS irgendwo liegen?

Nein. Er muss zwischen den beiden verglichenen Seiten liegen. Sonst können die Formen verschieden sein.

Gilt der Strahlensatz, egal wo DE liegt?

Ja, für jede Lage einer parallelen Linie. Bewege DE im freien Spiel: Die beiden Verhältnisse bleiben immer gleich.

Ähnliche Figuren

Ähnliche Figuren haben die gleiche Form. Ihre Größe darf verschieden sein. Kongruente (deckungsgleiche) Figuren haben die gleiche Form und die gleiche Größe. Jedes kongruente Paar ist also auch ähnlich, aber nicht jedes ähnliche Paar ist kongruent.

Alle Kreise sind ähnlich. Alle Quadrate sind ähnlich. Alle gleichseitigen Dreiecke sind ähnlich. Aber zwei Rechtecke müssen nicht ähnlich sein: Ein langes, schmales und ein breites haben verschiedene Formen.

Wann sind zwei Vielecke ähnlich?

Zwei Vielecke mit gleich vielen Seiten sind ähnlich, wenn (1) ihre passenden Winkel gleich sind und (2) ihre passenden Seiten im selben Verhältnis stehen. Beide Bedingungen sind nötig. Ein Quadrat und eine Raute mit gleicher Seitenlänge haben gleiche Seitenverhältnisse, aber verschiedene Winkel, also sind sie nicht ähnlich.

Ähnliche Dreiecke

Das Dreieck ΔABC ist ähnlich zu ΔPQR (geschrieben ΔABC ~ ΔPQR), wenn ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R und

AB/PQ = BC/QR = CA/RP

Die Reihenfolge der Buchstaben ist wichtig. A gehört zu P, B zu Q, C zu R. Schreibe die passenden Buchstaben immer in der gleichen Reihenfolge.

Das gemeinsame Verhältnis heißt Streckfaktor (Maßstabsfaktor). Ist er 2, dann ist jede Seite des großen Dreiecks 2-mal so lang wie die passende Seite des kleinen.

Strahlensatz (Basic Proportionality Theorem, BPT)

Aussage: Wird in einem Dreieck eine Gerade parallel zu einer Seite gezogen und schneidet sie die beiden anderen Seiten in zwei verschiedenen Punkten, dann teilt sie diese beiden Seiten im gleichen Verhältnis.

Im Dreieck ΔABC gilt: Ist DE ∥ BC mit D auf AB und E auf AC, dann AD/DB = AE/EC. (Dieses Ergebnis heißt auch Satz von Thales.)

Beweisidee (in einfachen Worten)

  1. Verbinde B mit E und C mit D. Zeichne die Höhen DM ⟂ AC und EN ⟂ AB.
  2. Fläche von ΔADE = ½ × AD × EN und Fläche von ΔBDE = ½ × DB × EN. Also ar(ADE)/ar(BDE) = AD/DB.
  3. Genauso gilt ar(ADE)/ar(DEC) = AE/EC.
  4. ΔBDE und ΔDEC haben dieselbe Grundseite DE und liegen zwischen denselben Parallelen DE und BC, also sind ihre Flächen gleich.
  5. Also AD/DB = AE/EC.

Weitere nützliche Formen: AD/AB = AE/AC und DB/AB = EC/AC.

Umkehrung des Strahlensatzes

Teilt eine Gerade zwei Seiten eines Dreiecks im gleichen Verhältnis, dann ist sie parallel zur dritten Seite. In der 3D-Szene wird die Linie DE grün (parallel), sobald AE : EC gleich AD : DB ist.

Ähnlichkeitssätze: WW, SSS, SWS

Du musst nicht alle 6 Angaben prüfen (3 Winkel und 3 Verhältnisse). Einer dieser Tests reicht:

Achtung: Bei SWS muss der Winkel zwischen den beiden Seiten liegen.

Probiere es selbst aus (praktisch)

Schattentest: Stelle an einem sonnigen Tag ein 30-cm-Lineal senkrecht auf den Boden und miss seinen Schatten. Miss zur selben Zeit den Schatten eines Pfahls oder Baums. Lineal/sein Schatten = Pfahl/sein Schatten, weil die Sonnenstrahlen ähnliche Dreiecke bilden. Berechne die Höhe des Pfahls.

Papiertest zum Strahlensatz: Zeichne ein beliebiges Dreieck. Zeichne mit einem Geodreieck eine Linie parallel zu einer Seite. Miss die vier Teilstücke auf den anderen beiden Seiten und teile. Die beiden Verhältnisse sind fast gleich.

In der 3D-Szene: Schätze im letzten Schritt AD : DB für Position 3, dann schiebe und prüfe.

Wichtige Formeln und Definitionen

Gelöste Beispiele

1. ΔABC ~ ΔPQR mit AB = 4, BC = 6, CA = 5 und PQ = 8. Berechne QR und RP.

Streckfaktor = PQ/AB = 8/4 = 2. QR = 2 × 6 = 12. RP = 2 × 5 = 10.

2. In ΔABC gilt DE ∥ BC, AD = 2 cm, DB = 3 cm, AE = 4 cm. Berechne EC.

Nach dem Strahlensatz (BPT) gilt AD/DB = AE/EC. 2/3 = 4/EC. EC = 4 × 3 ÷ 2 = 6 cm.

3. In ΔABC liegen D und E auf AB und AC mit AD = 3, DB = 6, AE = 2, EC = 4. Ist DE ∥ BC?

AD/DB = 3/6 = 1/2. AE/EC = 2/4 = 1/2. Die Verhältnisse sind gleich, also gilt nach der Umkehrung des Strahlensatzes DE ∥ BC.

4. Zwei Dreiecke haben die Winkel 50°, 60°, 70° und 60°, 70°, 50°. Sind sie ähnlich?

Ja. Die Winkel stimmen überein (50° mit 50°, 60° mit 60°, 70° mit 70°), also sind sie nach WW ähnlich.

5. Die Seiten von ΔABC sind 3, 4, 6 und die Seiten von ΔPQR sind 9, 12, 18. Sind sie ähnlich?

9/3 = 3, 12/4 = 3, 18/6 = 3. Alle Verhältnisse sind gleich, also sind die Dreiecke nach SSS ähnlich.

6. Ein 1.5 m großes Mädchen wirft einen 2 m langen Schatten. Zur selben Zeit wirft ein Pfahl einen 12 m langen Schatten. Berechne die Höhe des Pfahls.

Die Sonnenstrahlen haben denselben Winkel und beide stehen senkrecht, also sind die Dreiecke ähnlich (WW). Höhe/12 = 1.5/2. Höhe = 12 × 0.75 = 9 m.

7. In ΔABC gilt DE ∥ BC mit AD = x, DB = x − 2, AE = x + 2, EC = x − 1. Berechne x.

Nach dem Strahlensatz: x/(x − 2) = (x + 2)/(x − 1). Über Kreuz multiplizieren: x(x − 1) = (x + 2)(x − 2). x² − x = x² − 4. Also x = 4.

8. In ΔPQR ist ∠P = 70°. In ΔXYZ ist ∠X = 70°, PQ = 3, PR = 5, XY = 6, XZ = 10. Sind sie ähnlich?

XY/PQ = 6/3 = 2 und XZ/PR = 10/5 = 2. Die eingeschlossenen Winkel sind ∠P = ∠X = 70°. Also ΔPQR ~ ΔXYZ nach SWS.

Häufige Fehler

Übungsquiz

1. Zwei Figuren mit gleicher Form, aber nicht unbedingt gleicher Größe heißen:
2. In ΔABC gilt DE ∥ BC, AD = 3, DB = 6, AE = 2. EC ist:
3. Welche dieser Figuren sind immer ähnlich?
4. Stimmen zwei Winkel eines Dreiecks mit zwei Winkeln eines anderen überein, sind die Dreiecke ähnlich nach:
5. ΔABC ~ ΔDEF, AB = 3, DE = 6, BC = 5. EF ist:

Üben: Beantworte diese selbst

Tippe oder wähle deine Antwort und drücke dann Prüfen. Nutze einen Tipp, wenn du nicht weiterkommst; die ganze Lösung erscheint nach deiner Antwort.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Strahlensatz (BPT) in einfachen Worten?

Zeichnest du in einem Dreieck eine Linie parallel zu einer Seite, teilt sie die beiden anderen Seiten in Stücke mit dem gleichen Verhältnis.

Was ist der Unterschied zwischen ähnlichen und kongruenten Dreiecken?

Ähnliche Dreiecke haben die gleiche Form; ihre Seiten stehen in einem Verhältnis. Kongruente Dreiecke haben gleiche Form und gleiche Größe; das Verhältnis ist 1.

Welche Ähnlichkeitssätze gehören zum CBSE-Lehrplan der Klasse 10?

WW (oder AAA), SSS und SWS. Das Kapitel Dreiecke gehört zur Geometrie-Einheit, die zusammen mit den Kreisen etwa 15 Punkte bringt.

Wo das unterrichtet wird

Canada (Ontario)Grade 10Trigonometry
Canada (Ontario)Grade 10Measurement and Trigonometry
Spain1º BachilleratoGeometric foundations
Ukraine8 класSimilarity of triangles
Ukraine8 класSolving right triangles
Ukraine9 класGeometric transformations
CBSE (India)Class 10Geometry
CBSE (India)Class 10Geometry
USA (Common Core, NGSS, AP)Grade 8Geometry (8.G)
USA (Common Core, NGSS, AP)Grade 10Similarity, proof and trigonometry
USA (Common Core, NGSS, AP)Grade 10Similarity, right-triangle trigonometry and proof
Japan中学3年Geometry
South Korea중학교 2학년Similarity and Pythagoras
South Korea고등학교 2학년Shapes and measurement
South Korea고등학교 3학년Patterns
Germany (Bavaria)Jahrgangsstufe 9Similarity and intercept theorem
FranceQuatrièmeQuantities and measures
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FranceTroisièmeSpace and geometry
Russia8 классSimilarity
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Russia9 классSimilar triangles
Russia9 классSimilarity transformation
China九年级（初三）Similarity (下册)

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