Punkte haben eine Adresse: (x, y)
Zeichne zwei Zahlengeraden, die sich im rechten Winkel kreuzen. Die liegende ist die x-Achse. Die stehende ist die y-Achse. Sie treffen sich im Ursprung O(0, 0).
Jeder Punkt hat zwei Zahlen. Die erste Zahl (x, die Abszisse) sagt, wie weit man nach rechts oder links geht. Die zweite Zahl (y, die Ordinate) sagt, wie weit man nach oben oder unten geht. (3, 2) bedeutet also: 3 nach rechts, dann 2 nach oben.
Abstandsformel
Nimm A(x₁, y₁) und B(x₂, y₂). Geh von A geradeaus, bis du unter B stehst. Dieser Weg ist der x-Unterschied, x₂ − x₁. Dann geh gerade nach oben bis B. Dieser Weg ist der y-Unterschied, y₂ − y₁. Die beiden Wege treffen sich im rechten Winkel, also ist AB die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks.
Nach Pythagoras: AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²].
Ein negativer Unterschied ist egal, denn Quadrieren macht ihn positiv. Der Abstand von P(x, y) zum Ursprung ist √(x² + y²).
Die Abstandsformel anwenden
- Kollinearität prüfen: Drei Punkte liegen auf einer Geraden, wenn die beiden kleinen Abstände zusammen den großen ergeben.
- Art des Dreiecks: Berechne alle drei Seiten. Gleiche Seiten zeigen ein gleichschenkliges oder gleichseitiges Dreieck; gilt a² + b² = c², ist es rechtwinklig.
- Gleich weit entfernter Punkt: Ist P von A und B gleich weit entfernt, schreibe PA = PB, quadriere beide Seiten und löse.
Teilungsformel (innere Teilung)
Ein Punkt P liegt auf der Strecke AB, zwischen A und B. Wenn AP : PB = m : n gilt, sagen wir: P teilt AB innen im Verhältnis m : n.
Stell dir vor, AB ist in m + n gleiche Stücke geschnitten. P ist m Stücke von A entfernt. P legt also m/(m + n) des Weges von A nach B zurück. Daraus folgt
P = ( (m·x₂ + n·x₁)/(m + n) , (m·y₂ + n·y₁)/(m + n) )
Warum das stimmt: Zeichne kleine rechtwinklige Dreiecke unter AP und PB. Sie haben dieselben Winkel, sind also ähnlich, und ihre Unterschiede stehen im Verhältnis m : n. (Siehe Ähnliche Dreiecke.)
Mittelpunktsformel
Bei m = n ist P der Mittelpunkt: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). Du nimmst einfach den Durchschnitt der x-Werte und der y-Werte.
Das Verhältnis finden
Ist das Verhältnis unbekannt, nenne es k : 1. Setze es in die Formel ein, vergleiche mit dem gegebenen x (oder y) und löse nach k. Um zu finden, wo die x-Achse AB schneidet, setze y = 0.
Drittelungspunkte
Zwei Punkte teilen AB in drei gleiche Teile. Sie teilen AB im Verhältnis 1 : 2 und 2 : 1.
Probier es selbst aus (Praxis)
Zu Hause: Klebe auf einen Fliesenboden zwei Linien als x- und y-Achse. Stell dich auf die Fliese (1, 1). Lege einen Hausschuh auf die Fliese (4, 5). Zähle 3 Fliesen nach rechts und 4 Fliesen nach oben. Spanne nun eine Schnur gerade von dir zum Hausschuh und miss sie in Fliesenbreiten: Es sind 5. Du hast gerade die Abstandsformel überprüft.
Im 3D: Geh zum letzten Schritt. Stelle B auf (7, 1) und m : n auf 1 : 1. Sag P voraus, bevor du hinschaust. (Antwort: (4, 1), der Mittelpunkt.)
Wichtige Formeln und Definitionen
- Abstand AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
- Abstand vom Ursprung = √(x² + y²)
- Teilungsformel (m : n, innen): P = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))
- Mittelpunkt = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
- Verhältnis unbekannt: k : 1 nehmen, dann nach k lösen
Gelöste Beispiele
1. Berechne den Abstand zwischen A(1, 1) und B(4, 5).
x-Unterschied = 4 − 1 = 3. y-Unterschied = 5 − 1 = 4. AB = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 Einheiten.
2. Berechne den Abstand des Punktes P(−6, 8) vom Ursprung.
OP = √[(−6)² + 8²] = √(36 + 64) = √100 = 10 Einheiten.
3. Berechne den Mittelpunkt von A(2, −3) und B(6, 7).
x = (2 + 6)/2 = 4. y = (−3 + 7)/2 = 2. Mittelpunkt = (4, 2).
4. Berechne den Punkt, der die Strecke zwischen A(1, 1) und B(7, 4) innen im Verhältnis 2 : 1 teilt.
m = 2, n = 1. x = (2×7 + 1×1)/3 = 15/3 = 5. y = (2×4 + 1×1)/3 = 9/3 = 3. P = (5, 3).
5. Liegen die Punkte A(1, 2), B(3, 6) und C(4, 8) auf einer Geraden?
AB = √(4 + 16) = √20 = 2√5. BC = √(1 + 4) = √5. AC = √(9 + 36) = √45 = 3√5. AB + BC = 2√5 + √5 = 3√5 = AC. Also ja, sie sind kollinear.
6. Finde den Punkt auf der x-Achse, der von A(2, −5) und B(−2, 9) gleich weit entfernt ist.
Der Punkt ist P(x, 0). PA² = PB²: (x − 2)² + 25 = (x + 2)² + 81. x² − 4x + 4 + 25 = x² + 4x + 4 + 81. −8x = 56, also x = −7. P = (−7, 0).
7. In welchem Verhältnis teilt der Punkt (−1, 6) die Strecke zwischen A(−3, 10) und B(6, −8)?
Nimm das Verhältnis k : 1. x = (6k − 3)/(k + 1) = −1. Also 6k − 3 = −k − 1, 7k = 2, k = 2/7. Verhältnis = 2 : 7. Probe mit y: (−8×2 + 10×7)/9 = 54/9 = 6 ✓.
8. Finde die Drittelungspunkte der Strecke zwischen A(2, −2) und B(−7, 4).
P teilt AB im Verhältnis 1 : 2: P = ((−7 + 4)/3, (4 − 4)/3) = (−1, 0). Q teilt AB im Verhältnis 2 : 1: Q = ((−14 + 2)/3, (8 − 2)/3) = (−4, 2).
Häufige Fehler
- Die Wurzel am Ende vergessen: √25 = 5, nicht 25.
- m und n in der Teilungsformel vertauschen. m gehört zum zweiten Punkt (x₂), n zum ersten Punkt (x₁).
- (x₂ + x₁) statt (x₂ − x₁) in die Abstandsformel schreiben. Der Abstand nutzt den Unterschied, also wird subtrahiert.
- Einen negativen Unterschied falsch quadrieren: (−3)² = 9, nicht −9.