Statistische Fragestellungen
Eine statistische Frage ist eine Frage, deren Antwort aus Daten kommt, die unterschiedlich sind. "Wie groß bin ich?" hat eine Antwort. "Wie groß sind die Schüler meiner Klasse?" hat viele Antworten, also ist sie statistisch.
Eine Untersuchung hat vier Schritte:
- Fragen stellen (wer, was, welche Gruppe).
- Daten sammeln (Umfrage, Messen, Zählen).
- Ordnen und darstellen (Strichliste, Häufigkeitstabelle, Balkendiagramm).
- Auswerten und antworten (Mittelwert, Median oder Modus bestimmen; sagen, was die Daten zeigen).
Eine gute Frage nennt die Gruppe und etwas, das man messen oder zählen kann.
Mittelwert, Median und Modus
Mittelwert (Durchschnitt) = Summe aller Werte ÷ Anzahl der Werte. Das ist der gerechte Anteil, wenn alles gleich verteilt würde.
Median = der mittlere Wert, nachdem die Daten geordnet sind. Bei n Werten und ungeradem n ist es der ((n + 1) ÷ 2)-te Wert. Bei geradem n ist es der Durchschnitt der beiden mittleren Werte.
Modus = der Wert, der am häufigsten vorkommt. Es kann einen Modus geben, mehrere oder keinen.
Aus einer Häufigkeitstabelle (Wert x, Häufigkeit f): Mittelwert = Σfx ÷ Σf.
Welchen Mittelwert soll ich nehmen?
- Nimm den Mittelwert, wenn die Werte nah beieinander liegen (Noten einer Klasse).
- Nimm den Median, wenn ein paar Werte sehr groß oder sehr klein sind (Gehälter, Hauspreise). Ein sehr großer Wert zieht den Mittelwert nach oben, bewegt den Median aber kaum.
- Nimm den Modus für die beliebteste Wahl, auch bei Daten ohne Zahlen (Lieblingsfarbe, Schuhgröße).
Gewichteter Durchschnitt
Manchmal sind manche Werte wichtiger. Jeder Wert x bekommt ein Gewicht w (wie oft er zählt).
Gewichteter Durchschnitt = (w₁x₁ + w₂x₂ + …) ÷ (w₁ + w₂ + …)
Beispiel: 2 kg Reis zu ₹40 und 3 kg zu ₹50. Durchschnittspreis = (2 × 40 + 3 × 50) ÷ 5 = ₹46 pro kg, nicht ₹45, weil es mehr vom teuren Reis gibt. Gewichte können auch Prozentwerte sein, die zusammen 100% ergeben.
Gestapelte und 100%-gestapelte Balkendiagramme
Ein gestapeltes Balkendiagramm zeichnet einen Balken pro Gruppe und teilt jeden Balken in farbige Teile, die übereinander liegen. Die ganze Höhe zeigt die Summe, jede Farbe einen Teil.
Ein 100%-gestapeltes Balkendiagramm macht jeden Balken gleich hoch (100%). Jeder Teil zeigt seinen Prozentwert: Teil ÷ Summe × 100. Nutze es, wenn die Summen verschieden sind, du aber die Anteile fair vergleichen willst.
Füge immer eine Legende (welche Farbe was bedeutet) und einen Titel hinzu.
So kommt es in der Prüfung dran
Statistik und Wahrscheinlichkeit bringt in der CBSE-Klasse 9 (2026-27) 10 Punkte. Erwartet werden: Mittelwert, Median und Modus von Rohdaten oder einer Häufigkeitstabelle bestimmen, einen gewichteten Durchschnitt berechnen (Noten oder Preise), ein gestapeltes oder 100%-gestapeltes Balkendiagramm lesen und zeichnen und eine gute statistische Frage auswählen.
Probier es zu Hause aus
Frage 10 Personen aus Familie oder Freundeskreis: "Wie viele Stunden hast du letzte Nacht geschlafen?" Schreibe die Zahlen auf. Bestimme Mittelwert, Median und Modus. Welcher beschreibt deine Gruppe am besten? Frage dann Freunde aus zwei Klassen, wie sie zur Schule kommen, und zeichne für jede Klasse einen 100%-gestapelten Balken.
Wichtige Formeln und Definitionen
- Mittelwert = Summe der Werte ÷ Anzahl der Werte
- Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle = Σfx ÷ Σf
- Median (n ungerade) = ((n + 1) ÷ 2)-ter Wert in der Ordnung
- Median (n gerade) = Durchschnitt des (n ÷ 2)-ten und des (n ÷ 2 + 1)-ten Wertes
- Modus = Wert mit der größten Häufigkeit
- Gewichteter Durchschnitt = Σwx ÷ Σw
- Prozentanteil in einem 100%-gestapelten Balken = Teil ÷ Summe × 100
Gelöste Beispiele
1. Welche ist eine statistische Frage: (a) Wie viele Stifte sind in meiner Tasche? (b) Wie viele Stifte haben Schüler der Klasse 9 dabei?
(b). Die Antwort ist bei jedem Schüler anders, also müssen wir Daten sammeln. (a) hat nur eine Antwort.
2. Bestimme den Mittelwert von 12, 15, 18, 20 und 25.
Summe = 90. Anzahl der Werte = 5. Mittelwert = 90 ÷ 5 = 18.
3. Bestimme den Median von 3, 8, 5, 10, 7, 12.
Geordnet: 3, 5, 7, 8, 10, 12. Es sind 6 Werte (gerade), also Median = (7 + 8) ÷ 2 = 7.5.
4. Schuhgrößen von 20 Kindern: Größe 5 (3 Kinder), 6 (8), 7 (6), 8 (3). Bestimme Modus, Median und Mittelwert.
Modus = 6 (größte Häufigkeit 8). Median: Der 10. und der 11. Wert sind beide 6, also Median = 6. Mittelwert = (5×3 + 6×8 + 7×6 + 8×3) ÷ 20 = 129 ÷ 20 = 6.45.
5. Ein Laden mischt 2 kg Reis zu ₹40/kg mit 3 kg zu ₹50/kg. Wie hoch ist der Durchschnittspreis pro kg?
Gewichteter Durchschnitt = (2 × 40 + 3 × 50) ÷ (2 + 3) = 230 ÷ 5 = ₹46 pro kg.
6. Projekte zählen 20%, Tests 30% und die Abschlussprüfung 50%. Riya erreicht 90, 70 und 80. Wie hoch ist ihre Endnote (Punktzahl)?
0.2 × 90 + 0.3 × 70 + 0.5 × 80 = 18 + 21 + 40 = 79.
7. Klasse A hat 30 Schüler: 12 mögen Cricket, 18 Fußball. Klasse B hat 50: 25 mögen Cricket, 25 Fußball. Gib die Werte für die 100%-gestapelten Balken an.
Klasse A: Cricket 12 ÷ 30 × 100 = 40%, Fußball 60%. Klasse B: Cricket 50%, Fußball 50%. Beide Balken sind 100% hoch; der Cricket-Teil von B ist größer, obwohl A weniger Schüler hat.
8. Der Mittelwert von 5 Zahlen ist 12. Vier davon sind 6, 14, 9 und 11. Bestimme die fünfte.
Summe = 5 × 12 = 60. Die vier Zahlen ergeben zusammen 40. Fünfte = 60 − 40 = 20.
Häufige Fehler
- Den Median bestimmen, ohne die Daten vorher zu ordnen.
- Bei einer geraden Anzahl von Werten einen der mittleren Werte nehmen, statt den Durchschnitt der beiden mittleren zu bilden.
- Beim gewichteten Durchschnitt durch die Anzahl der Werte teilen statt durch die Summe der Gewichte.
- Die Höhen gestapelter Balken vergleichen, obwohl die Gruppensummen verschieden sind; nimm dafür einen 100%-gestapelten Balken, um Anteile zu vergleichen.