Logarithmen

Was ist ein Logarithmus?

Eine Potenz wie 2³ = 8 hat drei Teile: die Basis 2, den Exponenten (die Hochzahl) 3 und das Ergebnis 8. Ein Logarithmus fragt nach dem Exponenten.

log_b x = y bedeutet b^y = x. Sprich: „Logarithmus von x zur Basis b“.

• log₂ 16 = 4, weil 2⁴ = 16.
• log₅ 25 = 2, weil 5² = 25.
• log₁₀ 0.01 = −2, weil 10⁻² = 0.01.

Regeln für die Teile: Die Basis b muss positiv und ungleich 1 sein. Die Zahl x muss positiv sein. Darum gibt es log(−5) und log 0 nicht.

Logarithmus und Potenz heben sich gegenseitig auf (sie sind Umkehrungen): b^{log_b x} = x und log_b(b^x) = x.

Zehnerlogarithmus und natürlicher Logarithmus

Zehnerlogarithmus: Basis 10, geschrieben log x (oder lg x). Er passt zu unserem Zahlensystem: log 1000 = 3, log 1 = 0, log 0.1 = −1.

Natürlicher Logarithmus: Basis e ≈ 2.718, geschrieben ln x. Die Zahl e taucht bei natürlichem Wachstum auf, zum Beispiel bei Bakterien oder bei stetiger Verzinsung. ln e = 1, ln 1 = 0.

Log-Skalen im Alltag: pH = −log[H⁺], Dezibel = 10 log(I/I₀), Erdbebenstärke. In einem halblogarithmischen Diagramm geht eine Achse in gleichen Schritten 1, 10, 100, 1000. Darum sieht schnelles (exponentielles) Wachstum dort wie eine Gerade aus.

Geschichte: John Napier (1614) und Henry Briggs erstellten Logarithmentafeln, damit Seeleute und Astronomen große Zahlen multiplizieren konnten, indem sie Logarithmen addierten. Rechenschieber nutzten dieselbe Idee, bis es Taschenrechner gab.

Die Logarithmengesetze

Für positive a, b und die Basis c (c ≠ 1):

• Produktregel: log(ab) = log a + log b
• Quotientenregel: log(a/b) = log a − log b
• Potenzregel: log(aⁿ) = n · log a
• Besondere Werte: log_c 1 = 0, log_c c = 1
• Basiswechsel: log_c x = log x ÷ log c = ln x ÷ ln c

Warum die Produktregel stimmt: Wenn a = 2³ und b = 2⁴ ist, dann ist ab = 2³⁺⁴. Beim Multiplizieren werden die Exponenten addiert, und Logarithmen sind Exponenten.

Achtung: log(a + b) ist NICHT log a + log b. Für den Logarithmus einer Summe gibt es keine einfache Regel.

Der Graph von y = log_b x

Für b > 1 hat der Graph von y = log_b x diese Eigenschaften:

• Er existiert nur für x > 0 (Definitionsbereich), und y kann jede reelle Zahl sein (Wertebereich);
• er geht immer durch (1, 0) und (b, 1);
• er steigt zuerst schnell, dann immer langsamer;
• er schmiegt sich an die y-Achse an (x = 0 ist eine senkrechte Asymptote), berührt sie aber nie.

Für 0 < b < 1 fällt die Kurve stattdessen. Der Graph von y = log_b x ist das Spiegelbild von y = b^x an der Geraden y = x, denn die beiden Funktionen sind Umkehrfunktionen.

Verschiebungen funktionieren wie sonst: y = log(x − 3) schiebt die Kurve um 3 nach rechts, die Asymptote ist dann x = 3.

Exponential- und Logarithmusgleichungen lösen

Exponentialgleichung (die Unbekannte steht in der Hochzahl), zum Beispiel 5^x = 40:

1. Logarithmus auf beiden Seiten nehmen: log 5^x = log 40.
2. Potenzregel: x log 5 = log 40.
3. Teilen: x = log 40 ÷ log 5 ≈ 1.602 ÷ 0.699 ≈ 2.29.

Logarithmusgleichung, zum Beispiel log₂(x + 1) = 3: als Potenz schreiben: x + 1 = 2³ = 8, also x = 7. Prüfe immer, ob die Zahl in jedem Logarithmus positiv bleibt.

Ungleichungen: Für Basis > 1 ist der Logarithmus steigend, also bedeutet log_b u < log_b v dasselbe wie u < v (mit u, v > 0).

Modellieren: Wachstum A = P(1 + r)^t. Die Zeit t findest du mit t = log(A/P) ÷ log(1 + r).

Wichtige Formeln und Definitionen

• log_b x = y ⇔ b^y = x
• log(ab) = log a + log b
• log(a/b) = log a − log b
• log(aⁿ) = n log a
• log_b x = log x ÷ log b = ln x ÷ ln b
• log_b 1 = 0, log_b b = 1, b^(log_b x) = x

Gelöste Beispiele

Häufige Fehler

• log(a + b) = log a + log b schreiben. Die Produktregel gilt fürs Multiplizieren, nicht fürs Addieren.
• log a ÷ log b = log(a ÷ b) schreiben. Links steht der Basiswechsel, nicht die Quotientenregel.
• Lösungen behalten, bei denen die Zahl im Logarithmus null oder negativ wird. Prüfe immer deine Lösungen.
• Auf dem Taschenrechner log (Basis 10) und ln (Basis e) verwechseln.