Was ist ein Exponent?
In aⁿ ist a die Basis und n der Exponent (auch Hochzahl genannt). Es bedeutet: a wird n-mal mit sich selbst multipliziert.
Beispiel: 5³ = 5 × 5 × 5 = 125. Man liest „5 hoch 3“.
Achte auf das Vorzeichen: (−3)² = 9, aber −3² = −9, denn ohne Klammern gehört der Exponent nur zur 3.
Die wichtigsten Gesetze (gleiche Basis)
- Produkt: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (zähle alle Faktoren zusammen).
- Quotient: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, a ≠ 0 (gleiche Faktoren kürzen sich).
- Potenz einer Potenz: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (n Gruppen mit je m Faktoren).
- Potenz eines Produkts: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.
- Potenz eines Quotienten: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ, b ≠ 0.
Die Gesetze gelten nur, wenn die Basen gleich sind (bei den letzten beiden: wenn die Exponenten gleich sind). 2³ × 3² lässt sich nicht zu einer einzigen Potenz zusammenfassen.
Null und negative (ganzzahlige) Exponenten
Wende das Quotientengesetz auf a⁵ ÷ a⁵ an. Das Ergebnis muss 1 sein (etwas geteilt durch sich selbst), und das Gesetz liefert a⁰. Also gilt a⁰ = 1 für a ≠ 0.
Nun ist a² ÷ a⁵ = a⁻³, durch Kürzen erhält man aber 1/a³. Also gilt a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Ein negativer Exponent macht die Zahl nicht negativ: 2⁻³ = 1/8.
Ein nützlicher Trick: (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ. Stelle den Bruch auf den Kopf und mache den Exponenten positiv.
Die Standardform nutzt das: 0.00045 = 4.5 × 10⁻⁴.
Rationale (gebrochene) und reelle Exponenten
(a^(1/2))² = a^1 = a, also muss a^(1/2) gleich √a sein. Allgemein gilt a^(1/n) = ⁿ√a und a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ für a > 0.
Beispiel: 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4. Ziehe zuerst die Wurzel: Die Zahlen bleiben klein.
Alle Gesetze gelten auch für rationale Exponenten. Bei irrationalen Exponenten wie 2^√2 kommen wir immer näher heran mit 2^1.4, 2^1.41, 2^1.414 ... Die Gesetze gelten also für alle reellen Exponenten (bei positiver Basis).
Einfache Exponentialgleichungen
Wenn zwei Potenzen mit derselben Basis gleich sind, sind auch ihre Exponenten gleich: Aus aˣ = aʸ (a > 0, a ≠ 1) folgt x = y.
Beispiel: 3ˣ⁺¹ = 81 = 3⁴, also x + 1 = 4 und x = 3.
Beispiel: 4ˣ = 32. Schreibe beides als Zweierpotenz: 2²ˣ = 2⁵, also 2x = 5 und x = 2.5.
Alltag: Bakterien, die sich jede Stunde verdoppeln: N = 100 × 2ᵗ. Wann ist N = 3200? 2ᵗ = 32 = 2⁵, also t = 5 Stunden.
Wichtige Formeln und Definitionen
- aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
- (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
- a⁰ = 1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ
Gelöste Beispiele
1. Vereinfache 3⁴ × 3².
Gleiche Basis, multiplizieren → Exponenten addieren: 3⁴⁺² = 3⁶ = 729.
2. Vereinfache 7⁸ ÷ 7⁵.
Gleiche Basis, dividieren → Exponenten subtrahieren: 7⁸⁻⁵ = 7³ = 343.
3. Berechne (2³)² × 2⁻⁴.
(2³)² = 2⁶. Dann 2⁶ × 2⁻⁴ = 2² = 4.
4. Berechne (2/5)⁻².
Bruch umdrehen und Exponent positiv machen: (5/2)² = 25/4 = 6.25.
5. Berechne 27^(2/3) + 16^(−1/2).
27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9. 16^(−1/2) = 1/√16 = 1/4. Summe = 9.25.
6. Vereinfache (x³y⁻²)² ÷ (x²y)⁻¹ und schreibe das Ergebnis mit positiven Exponenten.
(x³y⁻²)² = x⁶y⁻⁴. Das Teilen durch (x²y)⁻¹ ist das Multiplizieren mit x²y. Also x⁸y⁻³ = x⁸/y³.
7. Löse 2ˣ × 4 = 128.
4 = 2², 128 = 2⁷. Also 2ˣ⁺² = 2⁷, x + 2 = 7, x = 5.
Häufige Fehler
- Bei einem Produkt die Exponenten multiplizieren: 2³ × 2² ist 2⁵, nicht 2⁶.
- Die Basen multiplizieren: 3² × 3⁴ ist 3⁶, nicht 9⁶.
- Glauben, dass ein negativer Exponent das Ergebnis negativ macht: 5⁻² = 1/25, eine positive Zahl.
- Glauben, dass a⁰ = 0 ist: Jede Zahl ungleich null hoch 0 ist 1.