¿Qué es un exponente?
En aⁿ, a es la base y n es el exponente (también llamado índice o potencia). Significa que a se multiplica por sí misma n veces.
Ejemplo: 5³ = 5 × 5 × 5 = 125. Se lee “5 elevado a 3” o “5 al cubo”.
Cuidado con el signo: (−3)² = 9 pero −3² = −9, porque sin paréntesis el exponente afecta solo al 3.
Las leyes principales (misma base)
- Producto: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (se cuentan todos los factores juntos).
- Cociente: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, a ≠ 0 (los factores iguales se cancelan).
- Potencia de una potencia: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (n grupos de m factores).
- Potencia de un producto: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.
- Potencia de un cociente: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ, b ≠ 0.
Las leyes funcionan solo cuando las bases son iguales (o los exponentes son iguales, en las dos últimas). 2³ × 3² no se puede juntar en una sola potencia.
Exponente cero y exponentes negativos (enteros)
Usa la ley del cociente en a⁵ ÷ a⁵. El resultado tiene que ser 1 (todo número dividido entre sí mismo), y la ley da a⁰. Entonces a⁰ = 1 si a ≠ 0.
Ahora a² ÷ a⁵ = a⁻³, pero al cancelar queda 1/a³. Entonces a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Un exponente negativo no vuelve negativo al número: 2⁻³ = 1/8.
Un truco útil: (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ. Invierte la fracción y pon el exponente positivo.
La notación científica usa esto: 0.00045 = 4.5 × 10⁻⁴.
Exponentes racionales (fraccionarios) y reales
(a^(1/2))² = a^1 = a, así que a^(1/2) tiene que ser √a. En general a^(1/n) = ⁿ√a y a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ para a > 0.
Ejemplo: 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4. Saca primero la raíz: los números se quedan pequeños.
Todas las leyes siguen valiendo para exponentes racionales. Para exponentes irracionales como 2^√2, nos acercamos cada vez más con 2^1.4, 2^1.41, 2^1.414..., así que las leyes se extienden a todos los exponentes reales (con base positiva).
Ecuaciones exponenciales sencillas
Si dos potencias de la misma base son iguales, sus exponentes son iguales: si aˣ = aʸ (a > 0, a ≠ 1) entonces x = y.
Ejemplo: 3ˣ⁺¹ = 81 = 3⁴, así que x + 1 = 4 y x = 3.
Ejemplo: 4ˣ = 32. Escribe ambos como potencias de 2: 2²ˣ = 2⁵, así que 2x = 5 y x = 2.5.
En la vida real: unas bacterias se duplican cada hora: N = 100 × 2ᵗ. ¿Cuándo N = 3200? 2ᵗ = 32 = 2⁵, así que t = 5 horas.
Fórmulas y definiciones clave
- aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
- (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
- a⁰ = 1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ
Ejemplos resueltos
1. Simplifica 3⁴ × 3².
Misma base, multiplicar → sumar: 3⁴⁺² = 3⁶ = 729.
2. Simplifica 7⁸ ÷ 7⁵.
Misma base, dividir → restar: 7⁸⁻⁵ = 7³ = 343.
3. Halla el valor de (2³)² × 2⁻⁴.
(2³)² = 2⁶. Luego 2⁶ × 2⁻⁴ = 2² = 4.
4. Calcula (2/5)⁻².
Invierte y pon el exponente positivo: (5/2)² = 25/4 = 6.25.
5. Calcula 27^(2/3) + 16^(−1/2).
27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9. 16^(−1/2) = 1/√16 = 1/4. Total = 9.25.
6. Simplifica (x³y⁻²)² ÷ (x²y)⁻¹ y escribe el resultado con exponentes positivos.
(x³y⁻²)² = x⁶y⁻⁴. Dividir entre (x²y)⁻¹ es multiplicar por x²y. Entonces x⁸y⁻³ = x⁸/y³.
7. Resuelve 2ˣ × 4 = 128.
4 = 2², 128 = 2⁷. Entonces 2ˣ⁺² = 2⁷, x + 2 = 7, x = 5.
Errores comunes
- Multiplicar los exponentes en un producto: 2³ × 2² es 2⁵, no 2⁶.
- Multiplicar las bases: 3² × 3⁴ es 3⁶, no 9⁶.
- Pensar que un exponente negativo vuelve negativa la respuesta: 5⁻² = 1/25, un número positivo.
- Pensar que a⁰ = 0: cualquier número distinto de cero elevado a 0 es 1.