¿Qué es una función exponencial?
Una función exponencial tiene la variable en el exponente: y = a · bˣ. Aquí a es el valor inicial y b es la base o factor de crecimiento. Necesitamos b > 0 y b ≠ 1.
En una tabla, cuando x sube 1, y se multiplica por el mismo número b. Por tanto, el cociente (siguiente y ÷ y actual) es constante. Así se reconoce una relación exponencial en los datos.
Las reglas de las potencias ayudan a simplificar: bᵐ·bⁿ = bᵐ⁺ⁿ, (bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ, b⁰ = 1, b⁻ⁿ = 1/bⁿ, b^(1/n) = ⁿ√b.
Gráfica, dominio, recorrido y asíntota
Para y = bˣ:
- Pasa por (0, 1), porque b⁰ = 1.
- Dominio: todos los números reales. Recorrido: y > 0.
- El eje x (y = 0) es una asíntota horizontal: la curva se acerca pero nunca lo toca.
- b > 1: creciente (crecimiento). 0 < b < 1: decreciente (decrecimiento).
- No corta el eje x; corta el eje y en 1 (o en a si y = a·bˣ).
¿Lineal, cuadrática o exponencial? Usa las diferencias
Mira una tabla con pasos iguales en x:
- Primeras diferencias constantes → lineal.
- Segundas diferencias constantes → cuadrática.
- Cocientes constantes (y las diferencias siguen creciendo con la misma razón) → exponencial.
El crecimiento exponencial es lento al principio, pero a la larga supera a cualquier función lineal o cuadrática.
Transformaciones: y = a·b^(k(x − d)) + c
- a: estiramiento vertical (|a| > 1) o compresión (|a| < 1); si a < 0, se refleja en el eje x.
- k: compresión horizontal por 1/|k|; si k < 0, se refleja en el eje y.
- d: desplaza a la derecha d unidades (a la izquierda si d es negativo).
- c: desplaza hacia arriba c unidades. La asíntota pasa a ser y = c y el recorrido es y > c (si a > 0).
Orden de aplicación: primero los estiramientos y reflexiones, después los desplazamientos. Cada punto (x, y) de y = bˣ pasa al punto (x/k + d, a·y + c).
Resolver problemas: crecimiento, decrecimiento y datos
- Crecimiento de r %: A = P(1 + r)ᵗ. Interés compuesto n veces al año: A = P(1 + r/n)ⁿᵗ.
- Duplicación: N = N₀ · 2^(t/T), T = tiempo de duplicación.
- Vida media: A = A₀ · (½)^(t/h), h = vida media.
- Decrecimiento de r %: A = P(1 − r)ᵗ (por ejemplo, el valor de un coche o un enfriamiento).
Para modelar datos: comprueba que los cocientes son casi constantes, calcula a con el valor inicial y b con el cociente medio, o usa una herramienta gráfica para hacer una regresión exponencial. Para leer respuestas en una gráfica, busca el punto donde la curva alcanza un valor de y.
Pruébalo: dobla una hoja de papel por la mitad una y otra vez. Cuenta las capas: 1, 2, 4, 8, 16... Después de 7 dobleces tienes 128 capas. Eso es 2ᵗ.
Fórmulas y definiciones clave
- y = a · bˣ (a ≠ 0, b > 0, b ≠ 1)
- y = a · b^(k(x − d)) + c (asíntota y = c)
- A = P(1 + r)ᵗ crecimiento; A = P(1 − r)ᵗ decrecimiento
- A = P(1 + r/n)ⁿᵗ interés compuesto
- A = A₀ (½)^(t/h) vida media; N = N₀ · 2^(t/T) duplicación
Ejemplos resueltos
1. ¿Es lineal, cuadrática o exponencial esta tabla? x: 0,1,2,3; y: 5, 15, 45, 135.
Diferencias: 10, 30, 90 (no son constantes). Cocientes: 15/5 = 3, 45/15 = 3, 135/45 = 3 → razón constante. Es exponencial: y = 5·3ˣ.
2. Indica el dominio, el recorrido, la asíntota y la ordenada en el origen de y = 2·3ˣ − 4.
Dominio: todos los x reales. a = 2 > 0, c = −4, así que el recorrido es y > −4. Asíntota y = −4. Corte con el eje y: x = 0 → 2·1 − 4 = −2.
3. Describe las transformaciones de y = 2ˣ que dan y = −3·2^(x − 1) + 5.
a = −3: estiramiento vertical por 3 y reflexión en el eje x. d = 1: desplazamiento 1 a la derecha. c = 5: desplazamiento 5 hacia arriba. Nueva asíntota y = 5, recorrido y < 5.
4. Se invierten ₹10,000 (o cualquier moneda) al 8 % anual con capitalización anual. Calcula el importe después de 5 años.
A = P(1 + r)ᵗ = 10000 × 1.08⁵. 1.08² = 1.1664; 1.08⁴ = 1.3605; ×1.08 = 1.4693. A ≈ 14,693.
5. Una muestra radiactiva de 80 g tiene una vida media de 6 días. ¿Cuánto queda después de 18 días?
Número de vidas medias = 18 ÷ 6 = 3. A = 80 × (½)³ = 80 ÷ 8 = 10 g.
6. Un cultivo de bacterias empieza con 200 células y se duplica cada 3 horas. ¿Cuándo llegará a 6400 células?
6400 = 200 · 2^(t/3) → 32 = 2^(t/3). 32 = 2⁵, así que t/3 = 5 → t = 15 horas.
Errores comunes
- Escribir 2·3ˣ como 6ˣ. La potencia afecta solo a la base 3: 2·3² = 18, pero 6² = 36.
- Pensar que la gráfica corta el eje x. y = a·bˣ con a > 0 siempre es positiva; el eje x es una asíntota.
- Usar r = 8 en lugar de 0.08 en (1 + r)ᵗ. Primero pasa el porcentaje a decimal.
- Confundir el signo de d: y = 2^(x − 3) se mueve 3 a la DERECHA, no a la izquierda.