Pares ordenados y producto cartesiano
Un par ordenado (a, b) tiene un primer lugar y un segundo lugar. (a, b) = (c, d) solo cuando a = c y b = d. Por eso (2, 3) ≠ (3, 2).
El producto cartesiano A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}. En el paso 1 del 3D, cada flecha es un par.
- n(A × B) = n(A) × n(B). Si A o B es vacío, A × B = ∅.
- En general, A × B ≠ B × A.
- R × R = {(x, y) : x, y ∈ R} es todo el plano de coordenadas.
- A × A × A = {(a, b, c) : a, b, c ∈ A} es un conjunto de ternas ordenadas. R × R × R es el espacio 3D.
Relación, dominio, codominio, recorrido
Una relación R de A en B es cualquier subconjunto de A × B. Escribimos (a, b) ∈ R o a R b. Se elige con alguna regla, como «b = a + 3».
- Dominio: el conjunto de todos los primeros elementos de R.
- Recorrido (o rango): el conjunto de todos los segundos elementos (las imágenes).
- Codominio: el conjunto B completo. Recorrido ⊆ codominio.
Si n(A) = p y n(B) = q, entonces A × B tiene pq pares y hay 2^(pq) relaciones de A en B.
Una función es una relación especial
Una relación f de A en B es una función si cada elemento de A tiene una y solo una imagen en B. Escribimos f : A → B e y = f(x).
- Ningún elemento de A se queda sin flecha.
- Ningún elemento de A tiene dos flechas.
- Dos elementos pueden compartir la misma imagen. Eso está permitido.
El paso 2 muestra una relación que falla (1 tiene dos flechas, 2 no tiene ninguna). El paso 3 muestra una función.
Prueba de la recta vertical
Para una función real dibujada en una gráfica, toda recta vertical debe cortar la gráfica como máximo una vez (paso 4).
Tipos de funciones reales y sus gráficas
- Constante f(x) = c: una recta horizontal. Dominio R, recorrido {c}.
- Identidad f(x) = x: recta que pasa por el origen a 45°. Dominio = recorrido = R.
- Polinómica f(x) = a₀ + a₁x + … + aₙxⁿ, con n un número natural o cero. Ejemplo x² − 1: una parábola en forma de U.
- Racional f(x) = p(x)/q(x), q(x) ≠ 0. Ejemplo 1/x: dos ramas, dominio R − {0}.
- Valor absoluto f(x) = |x| = x si x ≥ 0, −x si x < 0: una forma de V. Recorrido [0, ∞).
- Signo f(x) = |x|/x para x ≠ 0, 0 en x = 0. Da 1, 0 o −1. Recorrido {−1, 0, 1}.
- Exponencial f(x) = aˣ (a > 0, a ≠ 1). Ejemplo 2ˣ: siempre sobre el eje x, pasa por (0, 1). Recorrido (0, ∞).
- Logarítmica f(x) = logₐ x, x > 0: pasa por (1, 0) y crece despacio. Dominio (0, ∞), recorrido R.
- Parte entera f(x) = [x], el mayor entero ≤ x. Forma escalones: [2.7] = 2, [−1.2] = −2. Recorrido Z.
En el último paso del 3D elige cada una y mueve x.
Álgebra de funciones reales
Para f, g : X → R:
- (f + g)(x) = f(x) + g(x)
- (f − g)(x) = f(x) − g(x)
- (fg)(x) = f(x) · g(x); (αf)(x) = α f(x)
- (f/g)(x) = f(x)/g(x), solo donde g(x) ≠ 0
El paso 5 construye f + g apilando las alturas en cada x. El ejemplo resuelto de ahí se abre línea a línea.
Pruébalo
En casa: escribe los nombres de 4 familiares en una columna y sus meses de nacimiento en otra. Dibuja flechas. ¿Es «persona → mes de nacimiento» una función? ¿Es «mes → persona» una función? (Pista: ¿puede un mes tener dos personas? ¿puede un mes no tener ninguna?)
En el 3D: en el juego libre, predice [x] en x = −1.5 antes de mover. Luego comprueba.
Fórmulas y definiciones clave
- n(A × B) = n(A) · n(B)
- Número de relaciones de A en B = 2^(n(A)·n(B))
- |x| = x (x ≥ 0), −x (x < 0)
- sgn x = 1 (x > 0), 0 (x = 0), −1 (x < 0)
- [x] = mayor entero ≤ x
- (f ± g)(x) = f(x) ± g(x), (fg)(x) = f(x)g(x), (f/g)(x) = f(x)/g(x), g(x) ≠ 0
Ejemplos resueltos
1. Si (x + 1, y − 2) = (3, 1), halla x e y.
Dos pares ordenados son iguales solo cuando coinciden los lugares: x + 1 = 3 → x = 2; y − 2 = 1 → y = 3.
2. A = {1, 2}, B = {a, b, c}. Escribe A × B y halla n(A × B).
A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}. n = 2 × 3 = 6.
3. A = {1, 2}. Escribe A × A × A. ¿Cuántas ternas hay?
{(1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2), (2,2,1), (2,2,2)}: 2³ = 8 ternas.
4. R = {(x, x + 3) : x ∈ {0, 1, 2, 3}}. Escribe R por extensión y halla su dominio y recorrido.
R = {(0, 3), (1, 4), (2, 5), (3, 6)}. Dominio = {0, 1, 2, 3}, recorrido = {3, 4, 5, 6}.
5. ¿Cuál es una función desde {1, 2, 3}? (i) {(1, 4), (2, 4), (3, 5)} (ii) {(1, 4), (1, 5), (3, 5)}
(i) Cada entrada tiene exactamente una imagen: es función. (ii) 1 tiene dos imágenes y 2 no tiene ninguna: no es función (pasos 2 y 3).
6. Halla el dominio y el recorrido de f(x) = 1/(x − 2).
El denominador no puede ser 0, así que x ≠ 2: dominio = R − {2}. 1/(x − 2) puede ser cualquier número real salvo 0: recorrido = R − {0}.
7. Halla [3.9], [−3.9], sgn(−7), |−4| + |2|.
[3.9] = 3. [−3.9] = −4 (el mayor entero que no supera −3.9). sgn(−7) = −1. |−4| + |2| = 4 + 2 = 6.
8. f(x) = x y g(x) = x². Halla (f + g)(2), (f − g)(2), (fg)(2), (f/g)(2) y el dominio de f/g.
(f + g)(2) = 2 + 4 = 6. (f − g)(2) = 2 − 4 = −2. (fg)(2) = 8. (f/g)(2) = 2/4 = 1/2. g(0) = 0, así que el dominio de f/g es R − {0} (paso 5).
Errores comunes
- Pensar que (a, b) = (b, a). En los pares ordenados el orden importa.
- Decir que una relación no es función porque dos entradas comparten una salida. Compartir salida está permitido; que una entrada tenga dos salidas, no.
- Usar el codominio como recorrido. El recorrido son solo las imágenes que de verdad se usan; puede ser menor que B.
- Escribir [−2.5] = −2. El mayor entero ≤ −2.5 es −3.