Couples et produit cartésien
Un couple (a, b) a une première place et une deuxième place. (a, b) = (c, d) seulement si a = c et b = d. Donc (2, 3) ≠ (3, 2).
Le produit cartésien A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}. À l'étape 1 de la 3D, chaque flèche est un couple.
- n(A × B) = n(A) × n(B). Si A ou B est vide, A × B = ∅.
- En général, A × B ≠ B × A.
- R × R = {(x, y) : x, y ∈ R} est tout le plan des coordonnées.
- A × A × A = {(a, b, c) : a, b, c ∈ A} est un ensemble de triplets ordonnés. R × R × R est l'espace en 3D.
Relation, domaine, ensemble d'arrivée, image
Une relation R de A vers B est une partie quelconque de A × B. On écrit (a, b) ∈ R ou a R b. Elle est choisie par une règle, comme « b = a + 3 ».
- Domaine : l'ensemble de tous les premiers éléments de R.
- Image (range) : l'ensemble de tous les seconds éléments réellement atteints.
- Ensemble d'arrivée (co-domaine) : tout l'ensemble B. L'image est incluse dans l'ensemble d'arrivée.
Si n(A) = p et n(B) = q, alors A × B a pq couples et il y a 2^(pq) relations de A vers B.
Une fonction est une relation particulière
Une relation f de A vers B est une fonction si chaque élément de A a une seule et unique image dans B. On écrit f : A → B et y = f(x).
- Aucun élément de A n'est laissé sans flèche.
- Aucun élément de A n'a deux flèches.
- Deux éléments peuvent avoir la même image. C'est permis.
L'étape 2 montre une relation qui échoue (1 a deux flèches, 2 n'en a aucune). L'étape 3 montre une fonction.
Test de la droite verticale
Pour une fonction réelle dessinée sur un graphe, toute droite verticale doit couper le graphe au plus une fois (étape 4).
Types de fonctions réelles et leurs graphes
- Constante f(x) = c : une droite horizontale. Domaine R, image {c}.
- Identité f(x) = x : droite passant par l'origine à 45°. Domaine = image = R.
- Polynôme f(x) = a₀ + a₁x + … + aₙxⁿ, n un entier naturel. Exemple x² − 1 : une parabole en forme de U.
- Rationnelle f(x) = p(x)/q(x), q(x) ≠ 0. Exemple 1/x : deux branches, domaine R − {0}.
- Valeur absolue f(x) = |x| = x si x ≥ 0, −x si x < 0 : une forme en V. Image [0, ∞).
- Signe f(x) = |x|/x pour x ≠ 0, 0 en x = 0. Elle donne 1, 0 ou −1. Image {−1, 0, 1}.
- Exponentielle f(x) = aˣ (a > 0, a ≠ 1). Exemple 2ˣ : toujours au-dessus de l'axe des x, passe par (0, 1). Image (0, ∞).
- Logarithme f(x) = logₐ x, x > 0 : passe par (1, 0), croît lentement. Domaine (0, ∞), image R.
- Partie entière f(x) = [x], le plus grand entier ≤ x. En escaliers : [2.7] = 2, [−1.2] = −2. Image Z.
À la dernière étape de la 3D, choisis chacune et fais glisser x.
Algèbre des fonctions réelles
Pour f, g : X → R :
- (f + g)(x) = f(x) + g(x)
- (f − g)(x) = f(x) − g(x)
- (fg)(x) = f(x) · g(x) ; (αf)(x) = α f(x)
- (f/g)(x) = f(x)/g(x), seulement là où g(x) ≠ 0
L'étape 5 construit f + g en empilant les hauteurs en chaque x. L'exemple détaillé s'y ouvre ligne par ligne.
À toi de jouer
À la maison : écris les noms de 4 membres de ta famille dans une colonne et leurs mois de naissance dans une autre. Trace des flèches. « personne → mois de naissance » est-elle une fonction ? « mois → personne » est-elle une fonction ? (Indice : un mois peut-il avoir deux personnes ? un mois peut-il n'en avoir aucune ?)
Dans la 3D : en jeu libre, prédis [x] pour x = −1.5 avant de faire glisser. Ensuite vérifie.
Formules et définitions clés
- n(A × B) = n(A) · n(B)
- Nombre de relations de A vers B = 2^(n(A)·n(B))
- |x| = x (x ≥ 0), −x (x < 0)
- sgn x = 1 (x > 0), 0 (x = 0), −1 (x < 0)
- [x] = plus grand entier ≤ x
- (f ± g)(x) = f(x) ± g(x), (fg)(x) = f(x)g(x), (f/g)(x) = f(x)/g(x), g(x) ≠ 0
Exemples résolus
1. Si (x + 1, y − 2) = (3, 1), trouve x et y.
Deux couples sont égaux seulement si les places correspondent : x + 1 = 3 → x = 2 ; y − 2 = 1 → y = 3.
2. A = {1, 2}, B = {a, b, c}. Écris A × B et trouve n(A × B).
A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}. n = 2 × 3 = 6.
3. A = {1, 2}. Écris A × A × A. Combien de triplets ?
{(1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2), (2,2,1), (2,2,2)} : 2³ = 8 triplets.
4. R = {(x, x + 3) : x ∈ {0, 1, 2, 3}}. Écris R en extension et trouve son domaine et son image.
R = {(0, 3), (1, 4), (2, 5), (3, 6)}. Domaine = {0, 1, 2, 3}, image = {3, 4, 5, 6}.
5. Laquelle est une fonction de {1, 2, 3} ? (i) {(1, 4), (2, 4), (3, 5)} (ii) {(1, 4), (1, 5), (3, 5)}
(i) Chaque entrée a exactement une image : c'est une fonction. (ii) 1 a deux images et 2 n'en a aucune : ce n'est pas une fonction (étapes 2 et 3).
6. Trouve le domaine et l'image de f(x) = 1/(x − 2).
Le dénominateur ne peut pas être 0, donc x ≠ 2 : domaine = R − {2}. 1/(x − 2) peut être n'importe quel réel sauf 0 : image = R − {0}.
7. Trouve [3.9], [−3.9], sgn(−7), |−4| + |2|.
[3.9] = 3. [−3.9] = −4 (le plus grand entier qui n'est pas supérieur à −3.9). sgn(−7) = −1. |−4| + |2| = 4 + 2 = 6.
8. f(x) = x et g(x) = x². Trouve (f + g)(2), (f − g)(2), (fg)(2), (f/g)(2) et le domaine de f/g.
(f + g)(2) = 2 + 4 = 6. (f − g)(2) = 2 − 4 = −2. (fg)(2) = 8. (f/g)(2) = 2/4 = 1/2. g(0) = 0, donc le domaine de f/g est R − {0} (étape 5).
Erreurs fréquentes
- Penser que (a, b) = (b, a). L'ordre compte dans un couple.
- Dire qu'une relation n'est pas une fonction parce que deux entrées ont la même sortie. Partager une sortie est permis ; une entrée avec deux sorties ne l'est pas.
- Prendre l'ensemble d'arrivée pour l'image. L'image contient seulement les valeurs réellement atteintes ; elle peut être plus petite que B.
- Écrire [−2.5] = −2. Le plus grand entier ≤ −2.5 est −3.