Degrés et radians
Un radian est l'angle au centre quand l'arc a la même longueur que le rayon (étape 1 de la 3D). Le cercle entier a pour arc 2πr, il vaut donc 2π radians.
- π rad = 180°, donc 1 rad = 180°/π ≈ 57°16′.
- Degrés → radians : multiplie par π/180. Radians → degrés : multiplie par 180/π.
- Longueur d'arc l = r θ (θ en radians).
- 1° = 60′ (minutes), 1′ = 60″ (secondes).
Définitions sur le cercle unité et sin²x + cos²x = 1
Dessine un cercle de rayon 1 centré à l'origine. Tourne un rayon d'un angle x à partir de l'axe des x positif. Il se termine en P(a, b). On définit cos x = a et sin x = b.
Cela marche pour tout réel x, même plus grand que 360° ou négatif. Ensuite tan x = sin x / cos x (cos x ≠ 0), cot x = cos x / sin x, sec x = 1/cos x, cosec x = 1/sin x.
P est à distance 1 du centre, donc par Pythagore a² + b² = 1, c'est-à-dire sin²x + cos²x = 1. Divise par cos²x : 1 + tan²x = sec²x. Divise par sin²x : 1 + cot²x = cosec²x.
Signes, ensemble de définition, image et courbes
Signes selon le quadrant (étape 3) : I tout est +, II sin et cosec sont +, III tan et cot sont +, IV cos et sec sont +.
- sin x, cos x : ensemble de définition R, image [−1, 1], période 2π.
- tan x : ensemble de définition R − {(2n + 1)π/2}, image R, période π.
- cot x : ensemble de définition R − {nπ}, image R.
- sec x : ensemble de définition R − {(2n + 1)π/2}, image (−∞, −1] ∪ [1, ∞). cosec x : ensemble de définition R − {nπ}, même image.
- sin x = 0 pour x = nπ ; cos x = 0 pour x = (2n + 1)π/2.
- sin(−x) = −sin x (impaire), cos(−x) = cos x (paire).
L'étape 4 trace y = sin x à partir du cercle : elle part de 0, atteint 1 en π/2, revient à 0 en π, descend à −1 en 3π/2. cos x est la même onde décalée vers la gauche de π/2.
Formules d'addition et de soustraction
- cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B
- cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B
- sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
- sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B
- tan(A + B) = (tan A + tan B)/(1 − tan A tan B)
- tan(A − B) = (tan A − tan B)/(1 + tan A tan B)
- cot(A + B) = (cot A cot B − 1)/(cot B + cot A)
Cas particuliers : cos(π/2 − x) = sin x, sin(π/2 − x) = cos x, sin(π − x) = sin x, cos(π − x) = −cos x, sin(π + x) = −sin x, cos(2π − x) = cos x.
Idée de la preuve (avec nos propres étapes) : place P à l'angle A + B et Q à l'angle 0 ; place ensuite R à l'angle A et S à l'angle −B. La corde PQ et la corde RS sous-tendent le même angle A + B, elles sont donc égales. Écris les deux avec la formule de distance, simplifie avec sin² + cos² = 1, et cos(A + B) apparaît. Les autres formules s'en déduisent en remplaçant B par −B ou A par π/2 − A.
Angle double, angle triple et somme en produit
Angle double (on pose B = A)
- sin 2x = 2 sin x cos x = 2 tan x/(1 + tan²x)
- cos 2x = cos²x − sin²x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sin²x = (1 − tan²x)/(1 + tan²x)
- tan 2x = 2 tan x/(1 − tan²x)
Angle triple
- sin 3x = 3 sin x − 4 sin³x
- cos 3x = 4 cos³x − 3 cos x
- tan 3x = (3 tan x − tan³x)/(1 − 3 tan²x)
Somme en produit
- cos x + cos y = 2 cos((x + y)/2) cos((x − y)/2)
- cos x − cos y = −2 sin((x + y)/2) sin((x − y)/2)
- sin x + sin y = 2 sin((x + y)/2) cos((x − y)/2)
- sin x − sin y = 2 cos((x + y)/2) sin((x − y)/2)
Et dans l'autre sens : 2 sin x cos y = sin(x + y) + sin(x − y), 2 cos x cos y = cos(x + y) + cos(x − y), −2 sin x sin y = cos(x + y) − cos(x − y).
À toi de jouer
À la maison : attache un fil à un bouchon de bouteille, tends-le comme un rayon, puis pose la même longueur de fil le long du bord d'une assiette ronde. Marque l'angle qu'il fait au centre : c'est 1 radian. Combien de fils comme celui-ci font le tour du bord ? (Un peu plus de 6, car 2π ≈ 6.28.)
Dans la 3D : à l'étape 5, choisis A = 45°, B = 30° et vérifie que l'affichage donne sin 75° ≈ 0.966. En jeu libre, prédis le signe de cos 200° avant de faire glisser.
Formules et définitions clés
- π rad = 180°, l = rθ
- sin²x + cos²x = 1, 1 + tan²x = sec²x, 1 + cot²x = cosec²x
- sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
- cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
- tan(A ± B) = (tan A ± tan B)/(1 ∓ tan A tan B)
- sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = 1 − 2 sin²x, tan 2x = 2tan x/(1 − tan²x)
- sin 3x = 3 sin x − 4 sin³x, cos 3x = 4 cos³x − 3 cos x
- cos x + cos y = 2 cos((x+y)/2) cos((x−y)/2)
Exemples résolus
1. Convertis 40°20′ en radians.
40°20′ = 40⅓° = 121/3°. Radians = (121/3) × π/180 = 121π/540.
2. Convertis 6 radians en degrés (π ≈ 22/7).
6 × 180/π = 1080 × 7/22 ≈ 343.64° ≈ 343°38′.
3. Une roue de rayon 35 cm tourne de 72°. Quelle distance parcourt un point du bord ?
θ = 72 × π/180 = 2π/5. l = rθ = 35 × 2π/5 = 14π ≈ 44 cm.
4. Si cos x = −3/5 et x est dans le quadrant III, trouve les cinq autres rapports.
sin²x = 1 − 9/25 = 16/25. En III, sin est négatif : sin x = −4/5. tan x = (−4/5)/(−3/5) = 4/3, cot x = 3/4, sec x = −5/3, cosec x = −5/4.
5. Trouve sin 765° et cos(−1710°).
765° = 2 × 360° + 45°, donc sin 765° = sin 45° = 1/√2. −1710° = −5 × 360° + 90°, donc cos(−1710°) = cos 90° = 0.
6. Trouve sin 75° (l'exemple de l'étape 5).
sin(45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° = (1/√2)(√3/2) + (1/√2)(1/2) = (√3 + 1)/(2√2) ≈ 0.966.
7. Trouve tan 15°.
tan(45° − 30°) = (1 − 1/√3)/(1 + 1/√3) = (√3 − 1)/(√3 + 1) = (√3 − 1)²/2 = (4 − 2√3)/2 = 2 − √3.
8. Démontre que (sin 5x + sin 3x)/(cos 5x + cos 3x) = tan 4x.
Numérateur = 2 sin 4x cos x ; dénominateur = 2 cos 4x cos x (somme en produit). Le quotient vaut sin 4x / cos 4x = tan 4x.
9. Si sin x = 1/3, trouve sin 3x et cos 2x.
sin 3x = 3(1/3) − 4(1/27) = 1 − 4/27 = 23/27. cos 2x = 1 − 2(1/9) = 7/9.
Erreurs fréquentes
- Utiliser des degrés dans l = rθ. θ doit être en radians.
- Écrire sin(A + B) = sin A + sin B. La formule d'addition a quatre termes : sin A cos B + cos A sin B.
- Oublier le signe du quadrant. Après avoir utilisé sin²x + cos²x = 1, choisis + ou − selon le quadrant (étape 3).
- Croire que sin²x veut dire sin(x²). sin²x = (sin x)².