Qu'est-ce que la trigonométrie ?
La trigonométrie veut dire "mesure des triangles". Elle relie les angles d'un triangle rectangle aux longueurs de ses côtés. Un angle aigu est un angle plus petit que 90°. Dans un triangle rectangle, les deux autres angles sont toujours aigus.
Nommer les côtés : opposé, adjacent, hypoténuse
Prends le triangle rectangle ABC avec l'angle droit en B. Regarde depuis l'angle A.
- Hypoténuse AC : le plus long côté, en face de l'angle droit. Elle ne change jamais.
- Côté opposé BC : le côté en face de l'angle A.
- Côté adjacent AB : le côté à côté de l'angle A qui n'est pas l'hypoténuse.
Si tu regardes depuis l'angle C, l'opposé et l'adjacent échangent leurs places. Demande-toi donc toujours : "à quel angle suis-je ?"
Les six rapports trigonométriques
Pour l'angle A :
- sin A = opposé / hypoténuse = BC/AC
- cos A = adjacent / hypoténuse = AB/AC
- tan A = opposé / adjacent = BC/AB
- cosec A = 1/sin A = AC/BC
- sec A = 1/cos A = AC/AB
- cot A = 1/tan A = AB/BC
On a aussi tan A = sin A / cos A et cot A = cos A / sin A.
Pourquoi les rapports ne dépendent-ils pas de la taille ? Deux triangles rectangles ayant le même angle A sont semblables. Dans des triangles semblables, les côtés sont dans la même proportion, donc chaque rapport reste le même. C'est ce que montre la 3D à l'étape 4.
Comme l'hypoténuse est le plus long côté, sin A et cos A sont toujours inférieurs à 1 pour un angle aigu (et sec A, cosec A sont supérieurs à 1).
Trouver tous les rapports quand l'un est donné
Si sin A = 3/5, dessine un triangle avec opposé = 3k et hypoténuse = 5k. Avec Pythagore, adjacent = √(25k² − 9k²) = 4k. Lis maintenant tous les rapports : cos A = 4/5, tan A = 3/4, cosec A = 5/3, sec A = 5/4, cot A = 4/3. Le k se simplifie toujours.
Valeurs à 0°, 30°, 45°, 60°, 90°
| A | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin A | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| cos A | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
| tan A | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | non défini |
| cosec A | non défini | 2 | √2 | 2/√3 | 1 |
| sec A | 1 | 2/√3 | √2 | 2 | non défini |
| cot A | non défini | √3 | 1 | 1/√3 | 0 |
D'où viennent-elles ? 45° : un triangle rectangle avec deux angles de 45° a deux côtés égaux, disons 1 et 1, donc l'hypoténuse vaut √2 et sin 45° = cos 45° = 1/√2. 30° et 60° : coupe en deux un triangle équilatéral de côté 2. Tu obtiens des côtés 1, √3 et 2, donc sin 30° = 1/2 et sin 60° = √3/2. 0° et 90° : aplatis le triangle (l'opposé devient 0) ou redresse-le (l'adjacent devient 0).
Aux examens, on demande souvent de calculer des expressions comme 2 tan²45° + cos²30° − sin²60° avec ce tableau.
Formules et définitions clés
- sin A = opposé / hypoténuse
- cos A = adjacent / hypoténuse
- tan A = opposé / adjacent = sin A / cos A
- cosec A = 1/sin A, sec A = 1/cos A, cot A = 1/tan A
- sin 30° = 1/2, sin 45° = 1/√2, sin 60° = √3/2
- tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3
Exemples résolus
1. Dans le triangle rectangle ABC (angle droit en B), AB = 4 cm, BC = 3 cm. Trouve sin A, cos A et tan A.
Hypoténuse AC = √(4² + 3²) = √25 = 5 cm. Depuis A : opposé = BC = 3, adjacent = AB = 4. sin A = 3/5, cos A = 4/5, tan A = 3/4.
2. Si tan A = 5/12, trouve sin A et cos A.
Opposé = 5k, adjacent = 12k. Hypoténuse = √(25k² + 144k²) = 13k. sin A = 5/13, cos A = 12/13.
3. Calcule sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°.
(√3/2)(√3/2) + (1/2)(1/2) = 3/4 + 1/4 = 1.
4. Calcule 2 tan²45° + cos²30° − sin²60°.
2(1)² + (√3/2)² − (√3/2)² = 2 + 3/4 − 3/4 = 2.
5. Si sin(A − B) = 1/2 et cos(A + B) = 1/2, avec A et B aigus et A > B, trouve A et B.
sin 30° = 1/2, donc A − B = 30°. cos 60° = 1/2, donc A + B = 60°. En additionnant : 2A = 90°, A = 45°. Alors B = 15°.
6. Dans le triangle PQR, rectangle en Q, PR + QR = 25 cm et PQ = 5 cm. Trouve sin P, cos P et tan P.
Soit QR = x, donc PR = 25 − x. Pythagore : (25 − x)² = 5² + x² → 625 − 50x = 25 → x = 12. Donc QR = 12, PR = 13. Depuis P : opposé = QR = 12, adjacent = PQ = 5. sin P = 12/13, cos P = 5/13, tan P = 12/5.
7. Si 3 cot A = 4, vérifie si (1 − tan²A)/(1 + tan²A) = cos²A − sin²A.
cot A = 4/3, donc tan A = 3/4. Adjacent 4k, opposé 3k, hypoténuse 5k. Membre de gauche : (1 − 9/16)/(1 + 9/16) = (7/16)/(25/16) = 7/25. Membre de droite : 16/25 − 9/25 = 7/25. Les deux sont égaux, donc oui.
Erreurs fréquentes
- Confondre opposé et adjacent. Ils dépendent de l'angle depuis lequel tu regardes.
- Penser que sin A veut dire sin × A. "sin A" est un seul symbole : le sinus de l'angle A.
- Écrire tan 90° = ∞ ou 0. La bonne réponse est : non défini (on ne peut pas diviser par 0).
- Croire qu'un triangle plus grand donne de plus grandes valeurs de sin. Les rapports dépendent seulement de l'angle.