¿Qué es la trigonometría?
Trigonometría significa "medida de triángulos". Une los ángulos de un triángulo rectángulo con las longitudes de sus lados. Un ángulo agudo es un ángulo menor que 90°. En un triángulo rectángulo, los otros dos ángulos siempre son agudos.
Cómo se llaman los lados: opuesto, adyacente, hipotenusa
Toma el triángulo rectángulo ABC con el ángulo recto en B. Mira desde el ángulo A.
- Hipotenusa AC: el lado más largo, frente al ángulo recto. Nunca cambia.
- Cateto opuesto BC: el lado que está frente al ángulo A.
- Cateto adyacente AB: el lado junto al ángulo A que no es la hipotenusa.
Si miras desde el ángulo C, el opuesto y el adyacente se intercambian. Por eso pregúntate siempre: "¿en qué ángulo estoy?"
Las seis razones trigonométricas
Para el ángulo A:
- sen A = opuesto / hipotenusa = BC/AC
- cos A = adyacente / hipotenusa = AB/AC
- tan A = opuesto / adyacente = BC/AB
- cosec A = 1/sen A = AC/BC
- sec A = 1/cos A = AC/AB
- cot A = 1/tan A = AB/BC
Además tan A = sen A / cos A y cot A = cos A / sen A.
¿Por qué las razones no dependen del tamaño? Dos triángulos rectángulos con el mismo ángulo A son semejantes. En triángulos semejantes los lados guardan la misma proporción, así que cada razón se mantiene. Eso es lo que muestra el 3D en el paso 4.
Como la hipotenusa es el lado más largo, sen A y cos A siempre son menores que 1 para un ángulo agudo (y sec A y cosec A son mayores que 1).
Hallar todas las razones cuando conoces una
Si sen A = 3/5, dibuja un triángulo con opuesto = 3k e hipotenusa = 5k. Por Pitágoras, adyacente = √(25k² − 9k²) = 4k. Ahora lee todas las razones: cos A = 4/5, tan A = 3/4, cosec A = 5/3, sec A = 5/4, cot A = 4/3. La k siempre se simplifica.
Valores en 0°, 30°, 45°, 60°, 90°
| A | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sen A | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| cos A | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
| tan A | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | no definida |
| cosec A | no definida | 2 | √2 | 2/√3 | 1 |
| sec A | 1 | 2/√3 | √2 | 2 | no definida |
| cot A | no definida | √3 | 1 | 1/√3 | 0 |
¿De dónde salen? 45°: un triángulo rectángulo con dos ángulos de 45° tiene los catetos iguales, por ejemplo 1 y 1, así que la hipotenusa es √2 y sen 45° = cos 45° = 1/√2. 30° y 60°: corta por la mitad un triángulo equilátero de lado 2. Obtienes lados 1, √3 y 2, así que sen 30° = 1/2 y sen 60° = √3/2. 0° y 90°: aplasta el triángulo hasta dejarlo plano (el opuesto pasa a ser 0) o ponlo de pie (el adyacente pasa a ser 0).
En los exámenes suelen pedir calcular expresiones como 2 tan²45° + cos²30° − sen²60° usando esta tabla.
Fórmulas y definiciones clave
- sen A = opuesto / hipotenusa
- cos A = adyacente / hipotenusa
- tan A = opuesto / adyacente = sen A / cos A
- cosec A = 1/sen A, sec A = 1/cos A, cot A = 1/tan A
- sen 30° = 1/2, sen 45° = 1/√2, sen 60° = √3/2
- tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3
Ejemplos resueltos
1. En el triángulo rectángulo ABC (ángulo recto en B), AB = 4 cm, BC = 3 cm. Halla sen A, cos A y tan A.
Hipotenusa AC = √(4² + 3²) = √25 = 5 cm. Desde A: opuesto = BC = 3, adyacente = AB = 4. sen A = 3/5, cos A = 4/5, tan A = 3/4.
2. Si tan A = 5/12, halla sen A y cos A.
Opuesto = 5k, adyacente = 12k. Hipotenusa = √(25k² + 144k²) = 13k. sen A = 5/13, cos A = 12/13.
3. Calcula sen 60° cos 30° + sen 30° cos 60°.
(√3/2)(√3/2) + (1/2)(1/2) = 3/4 + 1/4 = 1.
4. Calcula 2 tan²45° + cos²30° − sen²60°.
2(1)² + (√3/2)² − (√3/2)² = 2 + 3/4 − 3/4 = 2.
5. Si sen(A − B) = 1/2 y cos(A + B) = 1/2, con A y B agudos y A > B, halla A y B.
sen 30° = 1/2, así que A − B = 30°. cos 60° = 1/2, así que A + B = 60°. Sumando: 2A = 90°, A = 45°. Entonces B = 15°.
6. En el triángulo PQR, rectángulo en Q, PR + QR = 25 cm y PQ = 5 cm. Halla sen P, cos P y tan P.
Sea QR = x, así que PR = 25 − x. Pitágoras: (25 − x)² = 5² + x² → 625 − 50x = 25 → x = 12. Luego QR = 12, PR = 13. Desde P: opuesto = QR = 12, adyacente = PQ = 5. sen P = 12/13, cos P = 5/13, tan P = 12/5.
7. Si 3 cot A = 4, comprueba si (1 − tan²A)/(1 + tan²A) = cos²A − sen²A.
cot A = 4/3, así que tan A = 3/4. Adyacente 4k, opuesto 3k, hipotenusa 5k. Lado izquierdo: (1 − 9/16)/(1 + 9/16) = (7/16)/(25/16) = 7/25. Lado derecho: 16/25 − 9/25 = 7/25. Los dos son iguales, así que sí.
Errores comunes
- Confundir opuesto y adyacente. Dependen del ángulo desde el que miras.
- Pensar que sen A significa sen × A. "sen A" es un solo símbolo: el seno del ángulo A.
- Escribir tan 90° = ∞ o 0. La respuesta correcta es: no definida (no se puede dividir entre 0).
- Creer que un triángulo más grande da valores de seno más grandes. Las razones solo dependen del ángulo.