Was ist Trigonometrie?
Trigonometrie bedeutet „Dreiecksmessung“. Sie verbindet die Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Längen seiner Seiten. Ein spitzer Winkel ist ein Winkel kleiner als 90°. In einem rechtwinkligen Dreieck sind die beiden anderen Winkel immer spitz.
Die Seiten benennen: Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse
Nimm das rechtwinklige Dreieck ABC mit dem rechten Winkel bei B. Schau vom Winkel A aus.
- Hypotenuse AC: die längste Seite, dem rechten Winkel gegenüber. Sie ändert sich nie.
- Gegenkathete BC: die Seite, die dem Winkel A gegenüberliegt.
- Ankathete AB: die Seite neben dem Winkel A, die nicht die Hypotenuse ist.
Schaust du stattdessen vom Winkel C aus, tauschen Gegenkathete und Ankathete die Plätze. Frag dich also immer: „An welchem Winkel stehe ich?“
Die sechs trigonometrischen Verhältnisse
Für den Winkel A:
- sin A = Gegenkathete / Hypotenuse = BC/AC
- cos A = Ankathete / Hypotenuse = AB/AC
- tan A = Gegenkathete / Ankathete = BC/AB
- cosec A = 1/sin A = AC/BC
- sec A = 1/cos A = AC/AB
- cot A = 1/tan A = AB/BC
Außerdem gilt tan A = sin A / cos A und cot A = cos A / sin A.
Warum hängen die Verhältnisse nicht von der Größe ab? Zwei rechtwinklige Dreiecke mit demselben Winkel A sind ähnlich. Bei ähnlichen Dreiecken stehen die Seiten im gleichen Verhältnis, also bleibt jedes Verhältnis gleich. Das zeigt die 3D-Szene in Schritt 4.
Weil die Hypotenuse die längste Seite ist, sind sin A und cos A bei einem spitzen Winkel immer kleiner als 1 (und sec A, cosec A sind größer als 1).
Alle Verhältnisse finden, wenn eines gegeben ist
Wenn sin A = 3/5 ist, zeichne ein Dreieck mit Gegenkathete = 3k und Hypotenuse = 5k. Nach Pythagoras ist die Ankathete = √(25k² − 9k²) = 4k. Jetzt kannst du jedes Verhältnis ablesen: cos A = 4/5, tan A = 3/4, cosec A = 5/3, sec A = 5/4, cot A = 4/3. Das k kürzt sich immer weg.
Werte bei 0°, 30°, 45°, 60°, 90°
| A | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin A | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| cos A | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
| tan A | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | nicht definiert |
| cosec A | nicht definiert | 2 | √2 | 2/√3 | 1 |
| sec A | 1 | 2/√3 | √2 | 2 | nicht definiert |
| cot A | nicht definiert | √3 | 1 | 1/√3 | 0 |
Woher kommen sie? 45°: Ein rechtwinkliges Dreieck mit zwei 45°-Winkeln hat gleich lange Katheten, sagen wir 1 und 1. Die Hypotenuse ist dann √2 und sin 45° = cos 45° = 1/√2. 30° und 60°: Teile ein gleichseitiges Dreieck mit der Seite 2 in der Mitte. Du erhältst die Seiten 1, √3 und 2, also sin 30° = 1/2 und sin 60° = √3/2. 0° und 90°: Drücke das Dreieck flach (die Gegenkathete wird 0) oder stell es senkrecht (die Ankathete wird 0).
In Prüfungen sollst du oft Ausdrücke wie 2 tan²45° + cos²30° − sin²60° mit dieser Tabelle berechnen.
Wichtige Formeln und Definitionen
- sin A = Gegenkathete / Hypotenuse
- cos A = Ankathete / Hypotenuse
- tan A = Gegenkathete / Ankathete = sin A / cos A
- cosec A = 1/sin A, sec A = 1/cos A, cot A = 1/tan A
- sin 30° = 1/2, sin 45° = 1/√2, sin 60° = √3/2
- tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3
Gelöste Beispiele
1. Im rechtwinkligen Dreieck ABC (rechter Winkel bei B) ist AB = 4 cm und BC = 3 cm. Berechne sin A, cos A und tan A.
Hypotenuse AC = √(4² + 3²) = √25 = 5 cm. Von A aus: Gegenkathete = BC = 3, Ankathete = AB = 4. sin A = 3/5, cos A = 4/5, tan A = 3/4.
2. Wenn tan A = 5/12 ist, berechne sin A und cos A.
Gegenkathete = 5k, Ankathete = 12k. Hypotenuse = √(25k² + 144k²) = 13k. sin A = 5/13, cos A = 12/13.
3. Berechne sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°.
(√3/2)(√3/2) + (1/2)(1/2) = 3/4 + 1/4 = 1.
4. Berechne 2 tan²45° + cos²30° − sin²60°.
2(1)² + (√3/2)² − (√3/2)² = 2 + 3/4 − 3/4 = 2.
5. Wenn sin(A − B) = 1/2 und cos(A + B) = 1/2 ist, mit A und B spitz und A > B, finde A und B.
sin 30° = 1/2, also A − B = 30°. cos 60° = 1/2, also A + B = 60°. Addiert: 2A = 90°, A = 45°. Dann ist B = 15°.
6. Im Dreieck PQR mit rechtem Winkel bei Q ist PR + QR = 25 cm und PQ = 5 cm. Berechne sin P, cos P und tan P.
Sei QR = x, also PR = 25 − x. Pythagoras: (25 − x)² = 5² + x² → 625 − 50x = 25 → x = 12. Also QR = 12, PR = 13. Von P aus: Gegenkathete = QR = 12, Ankathete = PQ = 5. sin P = 12/13, cos P = 5/13, tan P = 12/5.
7. Wenn 3 cot A = 4 ist, prüfe, ob (1 − tan²A)/(1 + tan²A) = cos²A − sin²A gilt.
cot A = 4/3, also tan A = 3/4. Ankathete 4k, Gegenkathete 3k, Hypotenuse 5k. Linke Seite: (1 − 9/16)/(1 + 9/16) = (7/16)/(25/16) = 7/25. Rechte Seite: 16/25 − 9/25 = 7/25. Beide sind gleich, also ja.
Häufige Fehler
- Gegenkathete und Ankathete verwechseln. Sie hängen davon ab, von welchem Winkel du schaust.
- Denken, sin A bedeute sin mal A. „sin A“ ist ein einziges Symbol: der Sinus des Winkels A.
- tan 90° = ∞ oder 0 schreiben. Richtig ist: nicht definiert (man darf nicht durch 0 teilen).
- Glauben, ein größeres Dreieck ergebe größere sin-Werte. Die Verhältnisse hängen nur vom Winkel ab.