Gradmaß und Bogenmaß
Ein Radiant ist der Winkel im Mittelpunkt, bei dem der Bogen so lang ist wie der Radius (Schritt 1 im 3D). Der ganze Kreis hat den Bogen 2πr, also sind das 2π Radiant.
- π rad = 180°, also 1 rad = 180°/π ≈ 57°16′.
- Grad → Radiant: mit π/180 multiplizieren. Radiant → Grad: mit 180/π multiplizieren.
- Bogenlänge l = r θ (θ im Bogenmaß).
- 1° = 60′ (Minuten), 1′ = 60″ (Sekunden).
Definition am Einheitskreis und sin²x + cos²x = 1
Zeichne einen Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Drehe einen Radius um den Winkel x von der positiven x-Achse aus. Er endet in P(a, b). Wir legen fest: cos x = a und sin x = b.
Das funktioniert für jede reelle Zahl x, auch für Winkel über 360° oder negative Winkel. Dann gilt tan x = sin x / cos x (cos x ≠ 0), cot x = cos x / sin x, sec x = 1/cos x, cosec x = 1/sin x.
P hat den Abstand 1 vom Mittelpunkt, also gilt nach Pythagoras a² + b² = 1, das heißt sin²x + cos²x = 1. Teilt man durch cos²x, bekommt man 1 + tan²x = sec²x. Teilt man durch sin²x, bekommt man 1 + cot²x = cosec²x.
Vorzeichen, Definitionsbereich, Wertebereich und Graphen
Vorzeichen in den Quadranten (Schritt 3): I alle +, II sin und cosec +, III tan und cot +, IV cos und sec +.
- sin x, cos x: Definitionsbereich R, Wertebereich [−1, 1], Periode 2π.
- tan x: Definitionsbereich R − {(2n + 1)π/2}, Wertebereich R, Periode π.
- cot x: Definitionsbereich R − {nπ}, Wertebereich R.
- sec x: Definitionsbereich R − {(2n + 1)π/2}, Wertebereich (−∞, −1] ∪ [1, ∞). cosec x: Definitionsbereich R − {nπ}, gleicher Wertebereich.
- sin x = 0 bei x = nπ; cos x = 0 bei x = (2n + 1)π/2.
- sin(−x) = −sin x (ungerade), cos(−x) = cos x (gerade).
Schritt 4 zeichnet y = sin x aus dem Kreis: Sie startet bei 0, erreicht bei π/2 den Höchstwert 1, kehrt bei π zu 0 zurück und fällt bei 3π/2 auf −1. cos x ist dieselbe Welle, um π/2 nach links verschoben.
Additionstheoreme (Summe und Differenz)
- cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B
- cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B
- sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
- sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B
- tan(A + B) = (tan A + tan B)/(1 − tan A tan B)
- tan(A − B) = (tan A − tan B)/(1 + tan A tan B)
- cot(A + B) = (cot A cot B − 1)/(cot B + cot A)
Sonderfälle: cos(π/2 − x) = sin x, sin(π/2 − x) = cos x, sin(π − x) = sin x, cos(π − x) = −cos x, sin(π + x) = −sin x, cos(2π − x) = cos x.
Idee des Beweises (in eigenen Schritten): Setze P auf den Winkel A + B und Q auf den Winkel 0. Setze dann R auf den Winkel A und S auf den Winkel −B. Die Sehne PQ und die Sehne RS gehören zum selben Winkel A + B, sind also gleich lang. Schreibe beide mit der Abstandsformel, vereinfache mit sin² + cos² = 1, und cos(A + B) kommt heraus. Die anderen Formeln folgen, indem man B durch −B oder A durch π/2 − A ersetzt.
Doppelwinkel, Dreifachwinkel und Summe zu Produkt
Doppelwinkel (setze B = A)
- sin 2x = 2 sin x cos x = 2 tan x/(1 + tan²x)
- cos 2x = cos²x − sin²x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sin²x = (1 − tan²x)/(1 + tan²x)
- tan 2x = 2 tan x/(1 − tan²x)
Dreifachwinkel
- sin 3x = 3 sin x − 4 sin³x
- cos 3x = 4 cos³x − 3 cos x
- tan 3x = (3 tan x − tan³x)/(1 − 3 tan²x)
Summe zu Produkt
- cos x + cos y = 2 cos((x + y)/2) cos((x − y)/2)
- cos x − cos y = −2 sin((x + y)/2) sin((x − y)/2)
- sin x + sin y = 2 sin((x + y)/2) cos((x − y)/2)
- sin x − sin y = 2 cos((x + y)/2) sin((x − y)/2)
Und rückwärts: 2 sin x cos y = sin(x + y) + sin(x − y), 2 cos x cos y = cos(x + y) + cos(x − y), −2 sin x sin y = cos(x + y) − cos(x − y).
Probier es aus
Zu Hause: Binde einen Faden an einen Flaschendeckel und spanne ihn als Radius. Lege dann ein gleich langes Stück Faden an den Rand eines runden Tellers. Markiere den Winkel, den es in der Mitte bildet: Das ist 1 Radiant. Wie viele solche Fäden passen um den ganzen Rand? (Etwas mehr als 6, denn 2π ≈ 6,28.)
Im 3D: Stelle in Schritt 5 A = 45° und B = 30° ein und prüfe, ob die Anzeige sin 75° ≈ 0.966 ergibt. Sage im freien Spiel das Vorzeichen von cos 200° voraus, bevor du den Regler bewegst.
Wichtige Formeln und Definitionen
- π rad = 180°, l = rθ
- sin²x + cos²x = 1, 1 + tan²x = sec²x, 1 + cot²x = cosec²x
- sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
- cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
- tan(A ± B) = (tan A ± tan B)/(1 ∓ tan A tan B)
- sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = 1 − 2 sin²x, tan 2x = 2tan x/(1 − tan²x)
- sin 3x = 3 sin x − 4 sin³x, cos 3x = 4 cos³x − 3 cos x
- cos x + cos y = 2 cos((x+y)/2) cos((x−y)/2)
Gelöste Beispiele
1. Rechne 40°20′ in Bogenmaß um.
40°20′ = 40⅓° = 121/3°. Bogenmaß = (121/3) × π/180 = 121π/540.
2. Rechne 6 Radiant in Grad um (π ≈ 22/7).
6 × 180/π = 1080 × 7/22 ≈ 343.64° ≈ 343°38′.
3. Ein Rad mit Radius 35 cm dreht sich um 72°. Welchen Weg legt ein Punkt am Rand zurück?
θ = 72 × π/180 = 2π/5. l = rθ = 35 × 2π/5 = 14π ≈ 44 cm.
4. Es gilt cos x = −3/5 und x liegt im Quadranten III. Bestimme die anderen fünf Verhältnisse.
sin²x = 1 − 9/25 = 16/25. In III ist sin negativ: sin x = −4/5. tan x = (−4/5)/(−3/5) = 4/3, cot x = 3/4, sec x = −5/3, cosec x = −5/4.
5. Bestimme sin 765° und cos(−1710°).
765° = 2 × 360° + 45°, also sin 765° = sin 45° = 1/√2. −1710° = −5 × 360° + 90°, also cos(−1710°) = cos 90° = 0.
6. Bestimme sin 75° (das Beispiel aus Schritt 5).
sin(45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° = (1/√2)(√3/2) + (1/√2)(1/2) = (√3 + 1)/(2√2) ≈ 0.966.
7. Bestimme tan 15°.
tan(45° − 30°) = (1 − 1/√3)/(1 + 1/√3) = (√3 − 1)/(√3 + 1) = (√3 − 1)²/2 = (4 − 2√3)/2 = 2 − √3.
8. Beweise (sin 5x + sin 3x)/(cos 5x + cos 3x) = tan 4x.
Zähler = 2 sin 4x cos x; Nenner = 2 cos 4x cos x (Summe zu Produkt). Quotient = sin 4x / cos 4x = tan 4x.
9. Es gilt sin x = 1/3. Bestimme sin 3x und cos 2x.
sin 3x = 3(1/3) − 4(1/27) = 1 − 4/27 = 23/27. cos 2x = 1 − 2(1/9) = 7/9.
Häufige Fehler
- Grad in l = rθ einsetzen. θ muss im Bogenmaß stehen.
- sin(A + B) = sin A + sin B schreiben. Die Summenformel hat vier Teile: sin A cos B + cos A sin B.
- Das Vorzeichen des Quadranten vergessen. Nach sin²x + cos²x = 1 musst du + oder − aus dem Quadranten wählen (Schritt 3).
- Denken, sin²x heiße sin(x²). Richtig ist sin²x = (sin x)².