Geordnete Paare und kartesisches Produkt
Ein geordnetes Paar (a, b) hat eine erste und eine zweite Stelle. (a, b) = (c, d) gilt nur, wenn a = c und b = d. Also ist (2, 3) ≠ (3, 2).
Das kartesische Produkt A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}. In Schritt 1 der 3D-Szene ist jeder Pfeil ein Paar.
- n(A × B) = n(A) × n(B). Ist A oder B leer, dann ist A × B = ∅.
- A × B ≠ B × A im Allgemeinen.
- R × R = {(x, y) : x, y ∈ R} ist die ganze Koordinatenebene.
- A × A × A = {(a, b, c) : a, b, c ∈ A} ist eine Menge geordneter Tripel. R × R × R ist der 3D-Raum.
Relation, Definitionsmenge, Zielmenge, Wertemenge
Eine Relation R von A nach B ist eine beliebige Teilmenge von A × B. Wir schreiben (a, b) ∈ R oder a R b. Sie wird durch eine Regel festgelegt, zum Beispiel „b = a + 3“.
- Definitionsmenge: die Menge aller ersten Elemente von R.
- Wertemenge: die Menge aller zweiten Elemente (die Bilder).
- Zielmenge: die ganze Menge B. Wertemenge ⊆ Zielmenge.
Ist n(A) = p und n(B) = q, dann hat A × B genau pq Paare, und es gibt 2^(pq) Relationen von A nach B.
Eine Funktion ist eine besondere Relation
Eine Relation f von A nach B ist eine Funktion, wenn jedes Element von A genau ein Bild in B hat. Wir schreiben f : A → B und y = f(x).
- Kein Element von A bleibt ohne Pfeil.
- Kein Element von A hat zwei Pfeile.
- Zwei Elemente dürfen dasselbe Bild haben. Das ist erlaubt.
Schritt 2 zeigt eine Relation, die das nicht erfüllt (1 hat zwei Pfeile, 2 hat keinen). Schritt 3 zeigt eine Funktion.
Test mit der senkrechten Linie
Bei einer reellen Funktion im Graphen darf jede senkrechte Linie den Graphen höchstens einmal treffen (Schritt 4).
Typen reeller Funktionen und ihre Graphen
- Konstante Funktion f(x) = c: eine waagrechte Gerade. Definitionsmenge R, Wertemenge {c}.
- Identität f(x) = x: Gerade durch den Ursprung unter 45°. Definitionsmenge = Wertemenge = R.
- Polynomfunktion f(x) = a₀ + a₁x + … + aₙxⁿ, n eine natürliche Zahl (mit 0). Beispiel x² − 1: eine U-förmige Parabel.
- Rationale Funktion f(x) = p(x)/q(x), q(x) ≠ 0. Beispiel 1/x: zwei Äste, Definitionsmenge R − {0}.
- Betragsfunktion f(x) = |x| = x für x ≥ 0, −x für x < 0: eine V-Form. Wertemenge [0, ∞).
- Signumfunktion f(x) = |x|/x für x ≠ 0, 0 bei x = 0. Sie liefert 1, 0 oder −1. Wertemenge {−1, 0, 1}.
- Exponentialfunktion f(x) = aˣ (a > 0, a ≠ 1). Beispiel 2ˣ: immer über der x-Achse, geht durch (0, 1). Wertemenge (0, ∞).
- Logarithmusfunktion f(x) = logₐ x, x > 0: geht durch (1, 0), wächst langsam. Definitionsmenge (0, ∞), Wertemenge R.
- Gaußklammer f(x) = [x], die größte ganze Zahl ≤ x. Treppenstufen: [2.7] = 2, [−1.2] = −2. Wertemenge Z.
Im letzten Schritt der 3D-Szene kannst du jede Funktion wählen und x schieben.
Rechnen mit reellen Funktionen
Für f, g : X → R gilt:
- (f + g)(x) = f(x) + g(x)
- (f − g)(x) = f(x) − g(x)
- (fg)(x) = f(x) · g(x); (αf)(x) = α f(x)
- (f/g)(x) = f(x)/g(x), nur dort, wo g(x) ≠ 0
Schritt 5 baut f + g, indem an jeder Stelle x die Höhen gestapelt werden. Das Rechenbeispiel dort öffnet sich Zeile für Zeile.
Probier es aus
Zu Hause: Schreibe die Namen von 4 Familienmitgliedern in eine Spalte und ihre Geburtsmonate in eine andere. Zeichne Pfeile. Ist „Person → Geburtsmonat“ eine Funktion? Ist „Monat → Person“ eine Funktion? (Tipp: Können zwei Personen im selben Monat Geburtstag haben? Kann ein Monat leer bleiben?)
In der 3D-Szene: Sage im freien Spiel [x] bei x = −1.5 voraus, bevor du schiebst. Dann prüfe nach.
Wichtige Formeln und Definitionen
- n(A × B) = n(A) · n(B)
- Anzahl der Relationen von A nach B = 2^(n(A)·n(B))
- |x| = x (x ≥ 0), −x (x < 0)
- sgn x = 1 (x > 0), 0 (x = 0), −1 (x < 0)
- [x] = größte ganze Zahl ≤ x
- (f ± g)(x) = f(x) ± g(x), (fg)(x) = f(x)g(x), (f/g)(x) = f(x)/g(x), g(x) ≠ 0
Gelöste Beispiele
1. Wenn (x + 1, y − 2) = (3, 1), bestimme x und y.
Geordnete Paare sind nur gleich, wenn die Stellen übereinstimmen: x + 1 = 3 → x = 2; y − 2 = 1 → y = 3.
2. A = {1, 2}, B = {a, b, c}. Schreibe A × B auf und bestimme n(A × B).
A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}. n = 2 × 3 = 6.
3. A = {1, 2}. Schreibe A × A × A auf. Wie viele Tripel sind es?
{(1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2), (2,2,1), (2,2,2)}: 2³ = 8 Tripel.
4. R = {(x, x + 3) : x ∈ {0, 1, 2, 3}}. Schreibe R in aufzählender Form und bestimme Definitions- und Wertemenge.
R = {(0, 3), (1, 4), (2, 5), (3, 6)}. Definitionsmenge = {0, 1, 2, 3}, Wertemenge = {3, 4, 5, 6}.
5. Was ist eine Funktion auf {1, 2, 3}? (i) {(1, 4), (2, 4), (3, 5)} (ii) {(1, 4), (1, 5), (3, 5)}
(i) Jede Eingabe hat genau ein Bild: Funktion. (ii) 1 hat zwei Bilder und 2 hat keins: keine Funktion (Schritte 2 und 3).
6. Bestimme Definitions- und Wertemenge von f(x) = 1/(x − 2).
Der Nenner darf nicht 0 sein, also x ≠ 2: Definitionsmenge = R − {2}. 1/(x − 2) kann jede reelle Zahl außer 0 sein: Wertemenge = R − {0}.
7. Bestimme [3.9], [−3.9], sgn(−7), |−4| + |2|.
[3.9] = 3. [−3.9] = −4 (die größte ganze Zahl, die nicht größer als −3.9 ist). sgn(−7) = −1. |−4| + |2| = 4 + 2 = 6.
8. f(x) = x und g(x) = x². Bestimme (f + g)(2), (f − g)(2), (fg)(2), (f/g)(2) und die Definitionsmenge von f/g.
(f + g)(2) = 2 + 4 = 6. (f − g)(2) = 2 − 4 = −2. (fg)(2) = 8. (f/g)(2) = 2/4 = 1/2. g(0) = 0, also ist die Definitionsmenge von f/g gleich R − {0} (Schritt 5).
Häufige Fehler
- Zu denken, (a, b) = (b, a). Bei geordneten Paaren zählt die Reihenfolge.
- Eine Relation „keine Funktion“ zu nennen, nur weil zwei Eingaben dieselbe Ausgabe haben. Gleiche Ausgabe ist erlaubt; eine Eingabe mit zwei Ausgaben nicht.
- Die Zielmenge mit der Wertemenge zu verwechseln. Die Wertemenge enthält nur die tatsächlich erreichten Bilder; sie kann kleiner als B sein.
- [−2.5] = −2 zu schreiben. Die größte ganze Zahl ≤ −2.5 ist −3.