Was ist ein Polynom?
Ein Polynom in x ist eine Summe von Termen wie 3x², −5x, 7, bei denen die Potenzen von x ganze Zahlen sind (0, 1, 2, …). Die höchste Potenz heißt Grad.
- Grad 1: linear, ax + b (a ≠ 0)
- Grad 2: quadratisch, ax² + bx + c (a ≠ 0)
- Grad 3: kubisch, ax³ + bx² + cx + d
x + 1/x und √x + 2 sind keine Polynome (Potenzen −1 und ½).
Nullstelle eines Polynoms
Eine Zahl k ist eine Nullstelle von p(x), wenn p(k) = 0 ist. Für p(x) = x² − 2x − 3 gilt: p(3) = 9 − 6 − 3 = 0, also ist 3 eine Nullstelle. Bei einem linearen Term ax + b ist die Nullstelle −b/a.
Die Nullstellen am Graphen
Zeichne y = p(x). Die Nullstellen sind die x-Koordinaten der Punkte, an denen der Graph die x-Achse trifft, denn dort ist y = 0.
- Linear: eine gerade Linie, genau eine Nullstelle.
- Quadratisch: eine Parabel (nach oben geöffnet, wenn a > 0, nach unten, wenn a < 0). Sie kann die x-Achse in 2 Punkten schneiden, in 1 Punkt berühren oder verfehlen (0 Nullstellen).
- Kubisch: höchstens 3 Nullstellen (sie trifft die Achse mindestens einmal).
Regel: Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. Um die Nullstellen am Graphen zu zählen, zähle die Punkte auf der x-Achse.
Zusammenhang zwischen Nullstellen und Koeffizienten
Wenn α und β Nullstellen von ax² + bx + c sind, dann gilt ax² + bx + c = a(x − α)(x − β) = a[x² − (α+β)x + αβ]. Wenn wir die Terme vergleichen, erhalten wir:
α + β = −b/a und αβ = c/a
Probe mit x² − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3): Nullstellen −1, 3. Summe 2 = −(−2)/1 ✓. Produkt −3 = −3/1 ✓.
(Zusatz: Für ein kubisches Polynom ax³ + bx² + cx + d gilt α+β+γ = −b/a, αβ+βγ+γα = c/a, αβγ = −d/a.)
Ein quadratisches Polynom aus den Nullstellen bilden
Kennt man die Summe S und das Produkt P der Nullstellen, so ist ein quadratisches Polynom k[x² − Sx + P] mit beliebigem k ≠ 0. Beispiel: S = 4, P = 1 ergibt x² − 4x + 1.
Probier es aus: ein Versuch
Erst vorhersagen, dann prüfen im freien 3D-Spiel: Stelle a = 1, b = −5, c = 6 ein. Wo werden die roten Kugeln liegen? (Tipp: Welche zwei Zahlen ergeben addiert 5 und multipliziert 6?) Erhöhe dann langsam c und merke dir den Wert, bei dem sich die beiden Kugeln treffen. Zu Hause: Wirf einen Ball sanft und skizziere seine Bahn. Die beiden Bodenpunkte entsprechen den Nullstellen.
Ecke für die Prüfung
Polynome gehören zur Algebra (20 Punkte). Typische Aufgaben: Nullstellen an einem gegebenen Graphen zählen (1 Punkt), die Nullstellen eines quadratischen Polynoms finden und den Zusammenhang mit den Koeffizienten prüfen (3 Punkte), ein quadratisches Polynom mit gegebener Summe und gegebenem Produkt finden (2 Punkte) und einen Wert wie α² + β² oder 1/α + 1/β mithilfe dieser Beziehungen berechnen (3 Punkte).
Wichtige Formeln und Definitionen
- Nullstelle: p(k) = 0
- Linear ax + b: Nullstelle = −b/a
- α + β = −b/a
- αβ = c/a
- Quadratisches Polynom mit Nullstellen α, β: k[x² − (α+β)x + αβ]
- α² + β² = (α+β)² − 2αβ
Gelöste Beispiele
1. Wie viele Nullstellen zeigt der Graph, wenn eine Parabel die x-Achse nur in einem Punkt berührt?
Eine Nullstelle (die beiden Nullstellen sind gleich). Die Anzahl der Nullstellen = Anzahl der Punkte, an denen der Graph die x-Achse trifft.
2. Finde die Nullstellen von x² + 7x + 10 und prüfe den Zusammenhang.
x² + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5). Nullstellen −2, −5. Summe −7 = −b/a = −7/1 ✓. Produkt 10 = c/a = 10 ✓.
3. Finde die Nullstellen von 6x² − 3 − 7x und prüfe.
6x² − 7x − 3 = 6x² − 9x + 2x − 3 = 3x(2x − 3) + 1(2x − 3) = (3x + 1)(2x − 3). Nullstellen −1/3, 3/2. Summe 7/6 = −(−7)/6 ✓. Produkt −1/2 = −3/6 ✓.
4. Finde die Nullstellen von 4u² + 8u.
4u(u + 2) = 0, also u = 0 oder −2. Summe −2 = −8/4 ✓. Produkt 0 = 0/4 ✓.
5. Finde ein quadratisches Polynom, dessen Nullstellen die Summe −1/4 und das Produkt 1/4 haben.
k[x² + (1/4)x + 1/4]. Mit k = 4: 4x² + x + 1.
6. Wenn α, β die Nullstellen von x² − 5x + 6 sind, finde α² + β² und 1/α + 1/β.
α + β = 5, αβ = 6. α² + β² = 25 − 12 = 13. 1/α + 1/β = (α+β)/αβ = 5/6.
7. Wenn eine Nullstelle von x² − 6x + k doppelt so groß ist wie die andere, finde k.
Nullstellen α, 2α. Summe 3α = 6 ⇒ α = 2. Produkt 2α² = 8 = k. Also k = 8.
Häufige Fehler
- α + β = b/a schreiben. Die Summe hat ein Minuszeichen: −b/a.
- Die Terme nicht zuerst ordnen: In 6x² − 3 − 7x ist b gleich −7 und c gleich −3.
- Die Stelle zählen, an der der Graph die y-Achse schneidet, statt die x-Achse.
- Denken, jedes quadratische Polynom habe zwei reelle Nullstellen. Manche berühren die Achse (1) oder verfehlen sie (0).