¿Qué es un polinomio?
Un polinomio en x es una suma de términos como 3x², −5x, 7, donde las potencias de x son números enteros (0, 1, 2, …). La potencia más alta es el grado.
- Grado 1: lineal, ax + b (a ≠ 0)
- Grado 2: cuadrático, ax² + bx + c (a ≠ 0)
- Grado 3: cúbico, ax³ + bx² + cx + d
x + 1/x y √x + 2 no son polinomios (tienen potencias −1 y ½).
Cero de un polinomio
Un número k es un cero de p(x) si p(k) = 0. Para p(x) = x² − 2x − 3: p(3) = 9 − 6 − 3 = 0, así que 3 es un cero. Para un polinomio lineal ax + b, el cero es −b/a.
Significado geométrico de los ceros
Dibuja y = p(x). Los ceros son las coordenadas x de los puntos donde la gráfica corta el eje x, porque ahí y = 0.
- Lineal: una recta, exactamente un cero.
- Cuadrático: una parábola (se abre hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0). Puede cortar el eje x en 2 puntos, tocarlo en 1 punto o no llegar a tocarlo (0 ceros).
- Cúbico: como máximo 3 ceros (corta el eje al menos una vez).
Regla: un polinomio de grado n tiene como máximo n ceros. Para contar los ceros en una gráfica, cuenta los puntos sobre el eje x.
Relación entre los ceros y los coeficientes
Si α y β son los ceros de ax² + bx + c, entonces ax² + bx + c = a(x − α)(x − β) = a[x² − (α+β)x + αβ]. Comparando los términos:
α + β = −b/a y αβ = c/a
Comprobación con x² − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3): ceros −1 y 3. Suma 2 = −(−2)/1 ✓. Producto −3 = −3/1 ✓.
(Extra: para un cúbico ax³ + bx² + cx + d, α+β+γ = −b/a, αβ+βγ+γα = c/a, αβγ = −d/a.)
Hallar un polinomio de segundo grado a partir de sus ceros
Si se conocen la suma S y el producto P de los ceros, un polinomio de segundo grado es k[x² − Sx + P], con k cualquier número distinto de cero. Ejemplo: S = 4, P = 1 da x² − 4x + 1.
Pruébalo: una práctica
Primero predice y luego comprueba en el juego libre 3D: pon a = 1, b = −5, c = 6. ¿Dónde estarán las bolas rojas? (Pista: ¿qué dos números suman 5 y se multiplican para dar 6?) Después sube c poco a poco y anota el valor en el que las dos bolas se juntan. En casa, lanza una pelota con suavidad y dibuja su trayectoria: los dos puntos del suelo son como los ceros.
Rincón del examen
Los polinomios son parte del Álgebra. Preguntas típicas: contar los ceros a partir de una gráfica dada, hallar los ceros de un polinomio de segundo grado y comprobar la relación con los coeficientes, hallar un polinomio de segundo grado con suma y producto dados, y calcular valores como α² + β² o 1/α + 1/β usando las relaciones.
Fórmulas y definiciones clave
- Cero: p(k) = 0
- Lineal ax + b: cero = −b/a
- α + β = −b/a
- αβ = c/a
- Polinomio de segundo grado con ceros α, β: k[x² − (α+β)x + αβ]
- α² + β² = (α+β)² − 2αβ
Ejemplos resueltos
1. ¿Cuántos ceros muestra la gráfica si una parábola toca el eje x en un solo punto?
Un cero (los dos ceros son iguales). El número de ceros = número de puntos donde la gráfica corta el eje x.
2. Halla los ceros de x² + 7x + 10 y comprueba la relación.
x² + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5). Ceros −2 y −5. Suma −7 = −b/a = −7/1 ✓. Producto 10 = c/a = 10 ✓.
3. Halla los ceros de 6x² − 3 − 7x y comprueba.
6x² − 7x − 3 = 6x² − 9x + 2x − 3 = 3x(2x − 3) + 1(2x − 3) = (3x + 1)(2x − 3). Ceros −1/3 y 3/2. Suma 7/6 = −(−7)/6 ✓. Producto −1/2 = −3/6 ✓.
4. Halla los ceros de 4u² + 8u.
4u(u + 2) = 0, así que u = 0 o u = −2. Suma −2 = −8/4 ✓. Producto 0 = 0/4 ✓.
5. Halla un polinomio de segundo grado cuyos ceros tengan suma −1/4 y producto 1/4.
k[x² + (1/4)x + 1/4]. Con k = 4: 4x² + x + 1.
6. Si α y β son los ceros de x² − 5x + 6, halla α² + β² y 1/α + 1/β.
α + β = 5, αβ = 6. α² + β² = 25 − 12 = 13. 1/α + 1/β = (α+β)/αβ = 5/6.
7. Si un cero de x² − 6x + k es el doble del otro, halla k.
Ceros α y 2α. Suma 3α = 6 ⇒ α = 2. Producto 2α² = 8 = k. Entonces k = 8.
Errores comunes
- Escribir α + β = b/a. La suma lleva signo menos: −b/a.
- No ordenar primero los términos: en 6x² − 3 − 7x, b es −7 y c es −3.
- Contar los puntos donde la gráfica corta el eje y en vez del eje x.
- Pensar que todo polinomio de segundo grado tiene dos ceros reales. Algunos tocan el eje (1) o no lo cortan (0).