Qu'est-ce qu'un polynôme ?
Un polynôme en x est une somme de termes comme 3x², −5x, 7, où les puissances de x sont des nombres entiers (0, 1, 2, …). La plus grande puissance est le degré.
- Degré 1 : linéaire, ax + b (a ≠ 0)
- Degré 2 : du second degré, ax² + bx + c (a ≠ 0)
- Degré 3 : du troisième degré, ax³ + bx² + cx + d
x + 1/x et √x + 2 ne sont pas des polynômes (puissances −1 et ½).
Zéro d'un polynôme
Un nombre k est un zéro de p(x) si p(k) = 0. Pour p(x) = x² − 2x − 3 : p(3) = 9 − 6 − 3 = 0, donc 3 est un zéro. Pour un polynôme linéaire ax + b, le zéro est −b/a.
Sens géométrique des zéros
Trace y = p(x). Les zéros sont les abscisses des points où le graphe rencontre l'axe des x, car là y = 0.
- Linéaire : une droite, exactement un zéro.
- Second degré : une parabole (ouverte vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0). Elle peut couper l'axe des x en 2 points, le toucher en 1 point, ou le manquer (0 zéro).
- Troisième degré : au plus 3 zéros (il rencontre l'axe au moins une fois).
Règle : un polynôme de degré n a au plus n zéros. Pour compter les zéros sur un graphe, compte les points sur l'axe des x.
Lien entre zéros et coefficients
Si α et β sont des zéros de ax² + bx + c, alors ax² + bx + c = a(x − α)(x − β) = a[x² − (α+β)x + αβ]. En comparant les termes :
α + β = −b/a et αβ = c/a
Vérifions avec x² − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3) : zéros −1 et 3. Somme 2 = −(−2)/1 ✓. Produit −3 = −3/1 ✓.
(Pour aller plus loin : pour ax³ + bx² + cx + d, α+β+γ = −b/a, αβ+βγ+γα = c/a, αβγ = −d/a.)
Trouver un trinôme à partir de ses zéros
Si l'on connaît la somme S et le produit P des zéros, un trinôme est k[x² − Sx + P] pour tout k non nul. Exemple : S = 4, P = 1 donne x² − 4x + 1.
À toi de jouer : une expérience
Devine d'abord, vérifie ensuite dans le jeu libre en 3D : mets a = 1, b = −5, c = 6. Où seront les boules rouges ? (Indice : quels deux nombres ont pour somme 5 et pour produit 6 ?) Puis augmente c doucement et note la valeur où les deux boules se rejoignent. À la maison, lance doucement une balle et dessine sa trajectoire : les deux points au sol ressemblent à des zéros.
Coin de l'examen
Les polynômes font partie de l'algèbre (20 points). Questions typiques : compter les zéros sur un graphe donné (1 point), trouver les zéros d'un trinôme et vérifier la relation avec les coefficients (3 points), trouver un trinôme de somme et produit donnés (2 points), et calculer une valeur comme α² + β² ou 1/α + 1/β grâce aux relations (3 points).
Formules et définitions clés
- Zéro : p(k) = 0
- Linéaire ax + b : zéro = −b/a
- α + β = −b/a
- αβ = c/a
- Trinôme de zéros α, β : k[x² − (α+β)x + αβ]
- α² + β² = (α+β)² − 2αβ
Exemples résolus
1. Combien de zéros le graphe montre-t-il si une parabole touche l'axe des x en un seul point ?
Un seul zéro (les deux zéros sont égaux). Le nombre de zéros = le nombre de points où le graphe rencontre l'axe des x.
2. Trouve les zéros de x² + 7x + 10 et vérifie la relation.
x² + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5). Zéros −2 et −5. Somme −7 = −b/a = −7/1 ✓. Produit 10 = c/a = 10 ✓.
3. Trouve les zéros de 6x² − 3 − 7x et vérifie.
6x² − 7x − 3 = 6x² − 9x + 2x − 3 = 3x(2x − 3) + 1(2x − 3) = (3x + 1)(2x − 3). Zéros −1/3 et 3/2. Somme 7/6 = −(−7)/6 ✓. Produit −1/2 = −3/6 ✓.
4. Trouve les zéros de 4u² + 8u.
4u(u + 2) = 0, donc u = 0 ou −2. Somme −2 = −8/4 ✓. Produit 0 = 0/4 ✓.
5. Trouve un trinôme dont les zéros ont pour somme −1/4 et pour produit 1/4.
k[x² + (1/4)x + 1/4]. Prends k = 4 : 4x² + x + 1.
6. Si α, β sont les zéros de x² − 5x + 6, trouve α² + β² et 1/α + 1/β.
α + β = 5, αβ = 6. α² + β² = 25 − 12 = 13. 1/α + 1/β = (α+β)/αβ = 5/6.
7. Si l'un des zéros de x² − 6x + k est le double de l'autre, trouve k.
Zéros α et 2α. Somme 3α = 6 ⇒ α = 2. Produit 2α² = 8 = k. Donc k = 8.
Erreurs fréquentes
- Écrire α + β = b/a. La somme porte un signe moins : −b/a.
- Ne pas ranger les termes d'abord : dans 6x² − 3 − 7x, b vaut −7 et c vaut −3.
- Compter les points où le graphe coupe l'axe des y au lieu de l'axe des x.
- Croire que chaque polynôme du second degré a deux zéros réels. Certains touchent l'axe (1) ou le manquent (0).