Qu'est-ce qu'un système d'équations linéaires ?
Une équation linéaire à deux inconnues s'écrit ax + by = c. Ici x et y sont des nombres inconnus (les variables). a, b et c sont des nombres fixes, et a et b ne sont pas tous les deux égaux à zéro.
« Linéaire » veut dire que son graphique est une droite. Une seule équation de ce type a une infinité de solutions. Deux équations avec les mêmes x et y forment un système. On cherche le seul couple (x, y) qui rend les deux vraies en même temps.
Le graphique d'une seule équation linéaire
Prends une règle, par exemple 2x + y = 6. Elle a beaucoup de solutions. Chaque solution est un couple (x, y).
- Choisis un x facile, comme 0. Alors y = 6. Point (0, 6).
- Choisis x = 3. Alors y = 0. Point (3, 0).
- Choisis encore un point pour vérifier, x = 1. Alors y = 4. Point (1, 4).
- Place les points et relie-les avec une règle.
Tous les points sont sur une même droite. Chaque point de la droite est une solution. Un point hors de la droite n'est pas une solution. Regarde l'étape 1 de la 3D : les points de x + y = 5 sont tous alignés.
Droites spéciales : x = 2 est une droite verticale. y = 3 est une droite horizontale. y = 2x passe par (0, 0).
Forme réduite : y = mx + c
On peut réécrire toute droite (avec b ≠ 0) pour que y soit seul : y = mx + c.
- m est le coefficient directeur (la pente). La pente mesure l'inclinaison. Quand x augmente de 1, y augmente de m.
- c est l'ordonnée à l'origine. C'est l'endroit où la droite coupe l'axe des y, au point (0, c).
Exemple : 2x + y = 6 devient y = −2x + 6. Pente −2 : la droite descend de 2 pour chaque pas de 1 vers la droite. Elle coupe l'axe des y en 6.
Pourquoi c'est utile : deux droites avec la même pente mais un c différent sont parallèles (aucune solution). Même pente et même c donnent la même droite. Des pentes différentes donnent des droites qui se croisent une fois. Dans l'étape de jeu libre, change la droite verte et regarde sa pente et son ordonnée à l'origine.
Méthode graphique
Étape 1. Pour chaque équation, fais un petit tableau : choisis 2 ou 3 valeurs de x et calcule y.
Étape 2. Place les points et relie-les avec une règle. Tu obtiens deux droites.
Étape 3. Lis l'endroit où les droites se rencontrent. Ce point (x, y) est la solution.
Exemple : x + y = 5 donne (0,5), (5,0). x − y = 1 donne (1,0), (3,2). Les droites se rencontrent en (3, 2), donc x = 3, y = 2. Essaie dans la 3D ci-dessus (étapes 1 à 3).
Trois images possibles : le nombre de solutions
- Les droites se croisent → exactement une solution. Le système est compatible (il a au moins une solution).
- Les droites sont parallèles → aucune solution. Le système est incompatible.
- Les droites sont confondues (l'une sur l'autre) → une infinité de solutions. Le système est compatible et dépendant.
Le test des rapports, sans dessiner
Pour a₁x + b₁y = c₁ et a₂x + b₂y = c₂, compare les rapports :
- a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ → les droites se croisent → une solution.
- a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → parallèles → aucune solution.
- a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ → même droite → une infinité.
Pourquoi ? Si a et b sont dans le même rapport, les droites penchent du même angle (même pente). Alors c décide si c'est la même droite ou juste deux droites côte à côte.
Méthode par substitution
« Substituer » veut dire « mettre à la place de ».
- Dans une équation, écris une variable en fonction de l'autre. Exemple : x − y = 1 donne x = y + 1.
- Mets cela dans l'autre équation : (y + 1) + y = 5, donc 2y = 4, y = 2.
- Remets y : x = 2 + 1 = 3.
- Vérifie dans les deux équations : 3 + 2 = 5 ✓, 3 − 2 = 1 ✓.
Si la variable disparaît et que tu obtiens quelque chose de toujours vrai (comme 0 = 0), il y a une infinité de solutions. Si tu obtiens quelque chose de faux (comme 0 = 3), il n'y a aucune solution.
Méthode par élimination
« Éliminer » veut dire « faire disparaître ».
- Multiplie une équation ou les deux pour qu'une variable ait le même nombre devant elle (même coefficient).
- Additionne ou soustrais les équations. Cette variable disparaît.
- Résous la petite équation qui reste.
- Remets la valeur pour trouver l'autre variable, puis vérifie.
Exemple : x + y = 5 et x − y = 1. En additionnant : 2x = 6, donc x = 3 ; puis y = 2. Dans l'étape de jeu libre de la 3D, le bouton montre cela ligne par ligne pour n'importe quel système que tu fabriques.
Problèmes avec une histoire
Quatre étapes transforment une histoire en maths :
- Nomme les deux inconnues : « Soit x le prix d'un stylo en ₹ et y le prix d'un cahier en ₹. »
- Écris une équation pour chaque information de l'histoire.
- Résous par substitution ou élimination.
- Vérifie que la réponse a du sens (prix positifs, âges entiers) et réponds avec une phrase.
Types courants : prix, âges, nombres à deux chiffres, fractions, vitesse d'un bateau et du courant, prix fixe plus tarif, et angles ou côtés d'une figure.
À toi : une expérience à la maison
Demande à quelqu'un à la maison de choisir en secret deux nombres. Demande seulement leur somme et leur différence. Écris x + y = somme et x − y = différence. Additionne les deux équations : 2x = somme + différence. Trouve x, puis y. Surprends-le ! Ensuite, dans le jeu libre de la 3D, règle la droite verte sur x − y = ta différence et regarde le point de rencontre bouger.
Formules et définitions clés
- Une équation ax + by = c : son graphique est une droite ; chaque point de la droite est une solution
- Forme réduite : y = mx + c (m = pente, c = ordonnée à l'origine)
- Pente à partir de ax + by = c : m = −a/b, ordonnée à l'origine c/b
- Forme générale : a₁x + b₁y = c₁ et a₂x + b₂y = c₂
- a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ → une solution (droites sécantes, compatible)
- a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → aucune solution (parallèles, incompatible)
- a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ → une infinité (confondues, dépendant)
- Substitution : exprimer une variable, la mettre dans l'autre équation
- Élimination : rendre les coefficients égaux, additionner ou soustraire
Exemples résolus
1. Trace le graphique de 2x + y = 6. Est-ce que (2, 2) est une solution ?
Tableau : x = 0 → y = 6 ; x = 3 → y = 0 ; x = 1 → y = 4. Place (0,6), (3,0), (1,4) et relie. Vérifie (2, 2) : 2×2 + 2 = 6 ✓, donc oui, il est sur la droite.
2. Écris 3x + 2y = 8 sous la forme y = mx + c. Trouve la pente et l'ordonnée à l'origine.
2y = −3x + 8, donc y = −(3/2)x + 4. Pente m = −3/2 (descend de 3 pour 2 pas vers la droite). Ordonnée à l'origine c = 4, point (0, 4).
3. Résous par élimination : x + y = 7, x − y = 3.
Additionne : 2x = 10, donc x = 5. Alors y = 7 − 5 = 2. Vérification : 5 − 2 = 3 ✓. Réponse x = 5, y = 2.
4. Résous par substitution : y = 2x et 3x + y = 15.
Remplace y par 2x : 3x + 2x = 15, donc 5x = 15, x = 3. Alors y = 6. Vérification : 9 + 6 = 15 ✓.
5. Sans résoudre, dis combien de solutions ont 2x + 3y = 6 et 4x + 6y = 15.
a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = 3/6 = 1/2, c₁/c₂ = 6/15 = 2/5. Les deux premiers sont égaux mais le troisième est différent, donc les droites sont parallèles : aucune solution (incompatible).
6. Trouve k pour que kx + 2y = 5 et 3x + y = 1 aient exactement une solution.
Une solution demande a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ : k/3 ≠ 2/1, donc k ≠ 6. Tout k sauf 6 convient.
7. Résous par élimination : 3x + 2y = 11 et 2x + 3y = 4.
Multiplie la première par 3 et la seconde par 2 : 9x + 6y = 33 et 4x + 6y = 8. Soustrais : 5x = 25, x = 5. Remets : 15 + 2y = 11, donc 2y = −4, y = −2. Vérification : 10 − 6 = 4 ✓.
8. 2 stylos et 3 cahiers coûtent ₹80. 1 stylo et 1 cahier coûtent ₹30. Trouve chaque prix.
Soit stylo = ₹x, cahier = ₹y. 2x + 3y = 80 et x + y = 30. Avec la seconde, x = 30 − y. Alors 2(30 − y) + 3y = 80 → 60 + y = 80 → y = 20, x = 10. Un stylo coûte ₹10, un cahier ₹20.
9. Un taxi fait payer un montant fixe plus un tarif par km. 10 km coûtent ₹105 et 15 km coûtent ₹155. Trouve le montant fixe et le tarif.
Soit fixe = ₹x, tarif = ₹y par km. x + 10y = 105 et x + 15y = 155. Soustrais : 5y = 50, y = 10. Alors x = 105 − 100 = 5. Montant fixe ₹5, tarif ₹10 par km.
10. Un bateau parcourt 30 km en aval en 2 heures et revient en amont en 3 heures. Trouve la vitesse du bateau en eau calme et celle du courant.
Soit bateau = x km/h, courant = y km/h. Vitesse en aval x + y = 30/2 = 15 ; en amont x − y = 30/3 = 10. Additionne : 2x = 25, x = 12.5 km/h ; y = 2.5 km/h.
Erreurs fréquentes
- Oublier de multiplier chaque terme (y compris le nombre à droite) quand on rend les coefficients égaux.
- Additionner quand il faut soustraire : on soustrait si les coefficients ont le même signe, on additionne s'ils ont des signes opposés.
- Mélanger les cas : des rapports a et b égaux veulent dire parallèles ou même droite, jamais une seule solution.
- S'arrêter après avoir trouvé une seule variable, ou ne pas vérifier la réponse dans les deux équations.