Grados y radianes
Un radián es el ángulo en el centro cuando el arco mide lo mismo que el radio (paso 1 del 3D). La circunferencia completa tiene arco 2πr, así que son 2π radianes.
- π rad = 180°, por tanto 1 rad = 180°/π ≈ 57°16′.
- De grados a radianes: multiplica por π/180. De radianes a grados: multiplica por 180/π.
- Longitud de arco l = r θ (θ en radianes).
- 1° = 60′ (minutos), 1′ = 60″ (segundos).
Definiciones en la circunferencia unidad y sen²x + cos²x = 1
Dibuja una circunferencia de radio 1 con centro en el origen. Gira un radio un ángulo x desde el eje x positivo. Termina en P(a, b). Definimos cos x = a y sen x = b.
Esto funciona para cualquier x real, incluso mayor de 360° o negativo. Después tan x = sen x / cos x (cos x ≠ 0), cot x = cos x / sen x, sec x = 1/cos x, cosec x = 1/sen x.
P está a distancia 1 del centro, así que por Pitágoras a² + b² = 1, es decir, sen²x + cos²x = 1. Divide entre cos²x: 1 + tan²x = sec²x. Divide entre sen²x: 1 + cot²x = cosec²x.
Signos, dominio, recorrido y gráficas
Signos por cuadrante (paso 3): en I todo +, en II sen y cosec +, en III tan y cot +, en IV cos y sec +.
- sen x, cos x: dominio R, recorrido [−1, 1], periodo 2π.
- tan x: dominio R − {(2n + 1)π/2}, recorrido R, periodo π.
- cot x: dominio R − {nπ}, recorrido R.
- sec x: dominio R − {(2n + 1)π/2}, recorrido (−∞, −1] ∪ [1, ∞). cosec x: dominio R − {nπ}, mismo recorrido.
- sen x = 0 en x = nπ; cos x = 0 en x = (2n + 1)π/2.
- sen(−x) = −sen x (impar), cos(−x) = cos x (par).
El paso 4 dibuja y = sen x a partir de la circunferencia: empieza en 0, llega a 1 en π/2, vuelve a 0 en π y baja a −1 en 3π/2. cos x es la misma onda desplazada π/2 hacia la izquierda.
Fórmulas de suma y diferencia
- cos(A + B) = cos A cos B − sen A sen B
- cos(A − B) = cos A cos B + sen A sen B
- sen(A + B) = sen A cos B + cos A sen B
- sen(A − B) = sen A cos B − cos A sen B
- tan(A + B) = (tan A + tan B)/(1 − tan A tan B)
- tan(A − B) = (tan A − tan B)/(1 + tan A tan B)
- cot(A + B) = (cot A cot B − 1)/(cot B + cot A)
Casos especiales: cos(π/2 − x) = sen x, sen(π/2 − x) = cos x, sen(π − x) = sen x, cos(π − x) = −cos x, sen(π + x) = −sen x, cos(2π − x) = cos x.
Idea de la demostración (con nuestros propios pasos): pon P en el ángulo A + B y Q en el ángulo 0; después pon R en el ángulo A y S en el ángulo −B. La cuerda PQ y la cuerda RS abarcan el mismo ángulo A + B, así que son iguales. Escribe ambas con la fórmula de la distancia, simplifica con sen² + cos² = 1 y sale cos(A + B). Las demás se obtienen cambiando B por −B o A por π/2 − A.
Ángulo doble, ángulo triple y suma a producto
Ángulo doble (pon B = A)
- sen 2x = 2 sen x cos x = 2 tan x/(1 + tan²x)
- cos 2x = cos²x − sen²x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sen²x = (1 − tan²x)/(1 + tan²x)
- tan 2x = 2 tan x/(1 − tan²x)
Ángulo triple
- sen 3x = 3 sen x − 4 sen³x
- cos 3x = 4 cos³x − 3 cos x
- tan 3x = (3 tan x − tan³x)/(1 − 3 tan²x)
Suma a producto
- cos x + cos y = 2 cos((x + y)/2) cos((x − y)/2)
- cos x − cos y = −2 sen((x + y)/2) sen((x − y)/2)
- sen x + sen y = 2 sen((x + y)/2) cos((x − y)/2)
- sen x − sen y = 2 cos((x + y)/2) sen((x − y)/2)
Y al revés: 2 sen x cos y = sen(x + y) + sen(x − y), 2 cos x cos y = cos(x + y) + cos(x − y), −2 sen x sen y = cos(x + y) − cos(x − y).
Pruébalo
En casa: ata un hilo a una chapa de botella, estíralo como un radio y luego pon esa misma longitud de hilo sobre el borde de un plato redondo. Marca el ángulo que forma en el centro: es 1 radián. ¿Cuántos hilos así caben en todo el borde? (Un poco más de 6, porque 2π ≈ 6.28.)
En el 3D: en el paso 5 pon A = 45°, B = 30° y comprueba que el panel da sen 75° ≈ 0.966. En el juego libre, adivina el signo de cos 200° antes de mover el control.
Fórmulas y definiciones clave
- π rad = 180°, l = rθ
- sen²x + cos²x = 1, 1 + tan²x = sec²x, 1 + cot²x = cosec²x
- sen(A ± B) = sen A cos B ± cos A sen B
- cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sen A sen B
- tan(A ± B) = (tan A ± tan B)/(1 ∓ tan A tan B)
- sen 2x = 2 sen x cos x, cos 2x = 1 − 2 sen²x, tan 2x = 2tan x/(1 − tan²x)
- sen 3x = 3 sen x − 4 sen³x, cos 3x = 4 cos³x − 3 cos x
- cos x + cos y = 2 cos((x+y)/2) cos((x−y)/2)
Ejemplos resueltos
1. Convierte 40°20′ a radianes.
40°20′ = 40⅓° = 121/3°. Radianes = (121/3) × π/180 = 121π/540.
2. Convierte 6 radianes a grados (π ≈ 22/7).
6 × 180/π = 1080 × 7/22 ≈ 343.64° ≈ 343°38′.
3. Una rueda de radio 35 cm gira 72°. ¿Cuánto se desplaza un punto del borde?
θ = 72 × π/180 = 2π/5. l = rθ = 35 × 2π/5 = 14π ≈ 44 cm.
4. Si cos x = −3/5 y x está en el cuadrante III, halla las otras cinco razones.
sen²x = 1 − 9/25 = 16/25. En III el seno es negativo: sen x = −4/5. tan x = (−4/5)/(−3/5) = 4/3, cot x = 3/4, sec x = −5/3, cosec x = −5/4.
5. Halla sen 765° y cos(−1710°).
765° = 2 × 360° + 45°, así que sen 765° = sen 45° = 1/√2. −1710° = −5 × 360° + 90°, así que cos(−1710°) = cos 90° = 0.
6. Halla sen 75° (el ejemplo resuelto del paso 5).
sen(45° + 30°) = sen 45° cos 30° + cos 45° sen 30° = (1/√2)(√3/2) + (1/√2)(1/2) = (√3 + 1)/(2√2) ≈ 0.966.
7. Halla tan 15°.
tan(45° − 30°) = (1 − 1/√3)/(1 + 1/√3) = (√3 − 1)/(√3 + 1) = (√3 − 1)²/2 = (4 − 2√3)/2 = 2 − √3.
8. Demuestra que (sen 5x + sen 3x)/(cos 5x + cos 3x) = tan 4x.
Numerador = 2 sen 4x cos x; denominador = 2 cos 4x cos x (suma a producto). Cociente = sen 4x / cos 4x = tan 4x.
9. Si sen x = 1/3, halla sen 3x y cos 2x.
sen 3x = 3(1/3) − 4(1/27) = 1 − 4/27 = 23/27. cos 2x = 1 − 2(1/9) = 7/9.
Errores comunes
- Usar grados en l = rθ. θ debe estar en radianes.
- Escribir sen(A + B) = sen A + sen B. La fórmula de la suma tiene cuatro factores: sen A cos B + cos A sen B.
- Olvidar el signo del cuadrante. Después de usar sen²x + cos²x = 1, elige + o − según el cuadrante (paso 3).
- Pensar que sen²x significa sen(x²). sen²x = (sen x)².