Logaritmos

¿Qué es un logaritmo?

Una potencia como 2³ = 8 tiene tres partes: la base 2, el exponente 3 y el resultado 8. Un logaritmo pregunta por el exponente.

log_b x = y significa b^y = x. Se lee "logaritmo en base b de x".

• log₂ 16 = 4, porque 2⁴ = 16.
• log₅ 25 = 2, porque 5² = 25.
• log₁₀ 0.01 = −2, porque 10⁻² = 0.01.

Reglas para las partes: la base b debe ser positiva y distinta de 1. El número x debe ser positivo. Por eso log(−5) y log 0 no existen.

Los logaritmos y las potencias se deshacen entre sí (son inversos): b^{log_b x} = x y log_b(b^x) = x.

Logaritmos decimales y naturales

Logaritmo decimal: base 10, se escribe log x (o lg x). Encaja con nuestro sistema de numeración: log 1000 = 3, log 1 = 0, log 0.1 = −1.

Logaritmo natural: base e ≈ 2.718, se escribe ln x. El número e aparece en el crecimiento natural, como las bacterias o el interés continuo. ln e = 1, ln 1 = 0.

Escalas logarítmicas de la vida real: pH = −log[H⁺], decibelios = 10 log(I/I₀), magnitud de los terremotos. En un gráfico semilogarítmico un eje va 1, 10, 100, 1000 en pasos iguales, así que el crecimiento rápido (exponencial) se ve como una línea recta.

Historia: John Napier (1614) y Henry Briggs hicieron tablas de logaritmos para que marineros y astrónomos pudieran multiplicar números grandes sumando logaritmos. Las reglas de cálculo usaban la misma idea hasta que llegaron las calculadoras.

Las propiedades de los logaritmos

Para a y b positivos y base c (c ≠ 1):

• Propiedad del producto: log(ab) = log a + log b
• Propiedad del cociente: log(a/b) = log a − log b
• Propiedad de la potencia: log(aⁿ) = n · log a
• Valores especiales: log_c 1 = 0, log_c c = 1
• Cambio de base: log_c x = log x ÷ log c = ln x ÷ ln c

Por qué funciona la propiedad del producto: si a = 2³ y b = 2⁴, entonces ab = 2³⁺⁴. Al multiplicar, los exponentes se suman, y los logaritmos son exponentes.

Ojo: log(a + b) NO es log a + log b. No hay una propiedad sencilla para el logaritmo de una suma.

La gráfica de y = log_b x

Para b > 1, la gráfica de y = log_b x:

• existe solo para x > 0 (dominio), y y puede ser cualquier número real (recorrido);
• siempre pasa por (1, 0) y (b, 1);
• sube rápido al principio y luego cada vez más despacio;
• se pega al eje y (x = 0 es una asíntota vertical) pero nunca lo toca.

Para 0 < b < 1 la curva baja en lugar de subir. La gráfica de y = log_b x es la imagen simétrica de y = b^x respecto a la recta y = x, porque son funciones inversas.

Los desplazamientos funcionan como siempre: y = log(x − 3) mueve la curva 3 unidades a la derecha, y la asíntota pasa a ser x = 3.

Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Ecuación exponencial (la incógnita está en el exponente), por ejemplo 5^x = 40:

1. Toma log en ambos lados: log 5^x = log 40.
2. Propiedad de la potencia: x log 5 = log 40.
3. Divide: x = log 40 ÷ log 5 ≈ 1.602 ÷ 0.699 ≈ 2.29.

Ecuación logarítmica, por ejemplo log₂(x + 1) = 3: escríbela como potencia: x + 1 = 2³ = 8, así que x = 7. Comprueba siempre que lo de dentro de cada log siga siendo positivo.

Inecuaciones: si la base es > 1, el log es creciente, así que log_b u < log_b v significa u < v (con u, v > 0).

Modelos: crecimiento A = P(1 + r)^t. Para hallar el tiempo t, usa t = log(A/P) ÷ log(1 + r).

Fórmulas y definiciones clave

• log_b x = y ⇔ b^y = x
• log(ab) = log a + log b
• log(a/b) = log a − log b
• log(aⁿ) = n log a
• log_b x = log x ÷ log b = ln x ÷ ln b
• log_b 1 = 0, log_b b = 1, b^(log_b x) = x

Ejemplos resueltos

Errores comunes

• Escribir log(a + b) = log a + log b. La propiedad del producto habla de multiplicar, no de sumar.
• Escribir log a ÷ log b = log(a ÷ b). El lado izquierdo es el cambio de base, no la propiedad del cociente.
• Quedarse con respuestas que dejan lo de dentro del log en cero o negativo. Comprueba siempre las soluciones.
• Confundir log (base 10) con ln (base e) en la calculadora.