I logaritmi

Che cos'è un logaritmo?

Una potenza come 2³ = 8 ha tre parti: la base 2, l'esponente 3 e il risultato 8. Il logaritmo chiede l'esponente.

log_b x = y significa b^y = x. Si legge "logaritmo in base b di x".

• log₂ 16 = 4, perché 2⁴ = 16.
• log₅ 25 = 2, perché 5² = 25.
• log₁₀ 0.01 = −2, perché 10⁻² = 0.01.

Regole sulle parti: la base b deve essere positiva e diversa da 1. Il numero x deve essere positivo. Quindi log(−5) e log 0 non esistono.

Logaritmi e potenze si annullano a vicenda (sono inversi): b^{log_b x} = x e log_b(b^x) = x.

Logaritmi decimali e naturali

Logaritmo decimale: base 10, si scrive log x (o lg x). Si adatta al nostro sistema di numeri: log 1000 = 3, log 1 = 0, log 0.1 = −1.

Logaritmo naturale: base e ≈ 2.718, si scrive ln x. Il numero e compare nella crescita naturale, come i batteri o l'interesse continuo. ln e = 1, ln 1 = 0.

Scale logaritmiche nella vita reale: pH = −log[H⁺], decibel = 10 log(I/I₀), magnitudo dei terremoti. In un grafico semilogaritmico un asse va 1, 10, 100, 1000 a passi uguali, così la crescita rapida (esponenziale) appare come una retta.

Un po' di storia: John Napier (1614) e Henry Briggs costruirono le tavole dei logaritmi, così marinai e astronomi potevano moltiplicare numeri grandi sommando i logaritmi. I regoli calcolatori si basavano sulla stessa idea, fino all'arrivo delle calcolatrici.

Le proprietà dei logaritmi

Per a, b positivi e base c (c ≠ 1):

• Prodotto: log(ab) = log a + log b
• Quoziente: log(a/b) = log a − log b
• Potenza: log(aⁿ) = n · log a
• Valori speciali: log_c 1 = 0, log_c c = 1
• Cambio di base: log_c x = log x ÷ log c = ln x ÷ ln c

Perché vale la regola del prodotto: se a = 2³ e b = 2⁴, allora ab = 2³⁺⁴. Gli esponenti si sommano quando si moltiplica, e i logaritmi sono esponenti.

Attenzione: log(a + b) NON è log a + log b. Non esiste una regola semplice per il logaritmo di una somma.

Il grafico di y = log_b x

Per b > 1 il grafico di y = log_b x:

• esiste solo per x > 0 (dominio), e y può essere qualsiasi numero reale (immagine);
• passa sempre per (1, 0) e (b, 1);
• sale in fretta all'inizio, poi sempre più lentamente;
• si avvicina all'asse y (x = 0 è un asintoto verticale) ma non lo tocca mai.

Per 0 < b < 1 la curva invece scende. Il grafico di y = log_b x è il simmetrico di y = b^x rispetto alla retta y = x, perché sono funzioni inverse.

Le traslazioni funzionano come al solito: y = log(x − 3) sposta la curva di 3 a destra, quindi l'asintoto diventa x = 3.

Risolvere equazioni esponenziali e logaritmiche

Equazione esponenziale (l'incognita è nell'esponente), per esempio 5^x = 40:

1. Prendi il log di entrambi i membri: log 5^x = log 40.
2. Regola della potenza: x log 5 = log 40.
3. Dividi: x = log 40 ÷ log 5 ≈ 1.602 ÷ 0.699 ≈ 2.29.

Equazione logaritmica, per esempio log₂(x + 1) = 3: riscrivila come potenza: x + 1 = 2³ = 8, quindi x = 7. Controlla sempre che il numero dentro ogni log resti positivo.

Disequazioni: per base > 1 il log è crescente, quindi log_b u < log_b v significa u < v (con u, v > 0).

Modelli: crescita A = P(1 + r)^t. Per trovare il tempo t, usa t = log(A/P) ÷ log(1 + r).

Formule e definizioni chiave

• log_b x = y ⇔ b^y = x
• log(ab) = log a + log b
• log(a/b) = log a − log b
• log(aⁿ) = n log a
• log_b x = log x ÷ log b = ln x ÷ ln b
• log_b 1 = 0, log_b b = 1, b^(log_b x) = x

Esempi svolti

Errori comuni

• Scrivere log(a + b) = log a + log b. La regola del prodotto riguarda la moltiplicazione, non l'addizione.
• Scrivere log a ÷ log b = log(a ÷ b). Il membro di sinistra è il cambio di base, non la regola del quoziente.
• Tenere soluzioni che rendono l'argomento di un log zero o negativo. Controlla sempre le soluzioni.
• Confondere log (base 10) e ln (base e) sulla calcolatrice.