¿Qué es una ecuación lineal con una incógnita?
Una ecuación es una afirmación de que dos cosas son iguales. Tiene un signo igual (=).
Una variable (o incógnita) es una letra, como x, que representa un número que todavía no conocemos.
Una ecuación es lineal cuando la variable tiene exponente 1. Así, 2x + 3 = 11 es lineal. Pero x² = 9 no lo es.
La solución (o raíz) es el número que hace iguales los dos lados. En 2x + 3 = 11, la solución es x = 4.
Forma general: ax + b = 0, con a ≠ 0. Una ecuación lineal con una incógnita tiene exactamente una solución.
El método de la balanza
Piensa en el signo igual como el centro de una balanza. Puedes hacer cualquiera de estas cosas en los dos lados y seguirá nivelada:
- sumar el mismo número
- restar el mismo número
- multiplicar por el mismo número
- dividir por el mismo número distinto de cero
Objetivo: dejar x sola en un lado.
Transposición (atajo)
Pasar un término al otro lado cambiándole el signo se llama transposición. Es el método de la balanza escrito más rápido.
x + 7 = 12 → x = 12 − 7 = 5. (+7 pasó a −7.)
3x = 18 → x = 18 ÷ 3 = 6. (× 3 pasó a ÷ 3.)
Ecuaciones más difíciles
Variable en ambos lados
Junta todos los términos con x en un lado y todos los números en el otro. 5x − 4 = 2x + 11 → 5x − 2x = 11 + 4 → 3x = 15 → x = 5.
Paréntesis
Primero quita los paréntesis. 3(x − 2) = 12 → 3x − 6 = 12 → 3x = 18 → x = 6. O divide primero los dos lados entre 3: x − 2 = 4 → x = 6.
Fracciones
Multiplica los dos lados por el m. c. m. de los denominadores para quitar las fracciones. x/2 + x/3 = 10 → multiplica por 6 → 3x + 2x = 60 → 5x = 60 → x = 12.
Ecuaciones que se reducen a forma lineal
(x + 1)/(x − 2) = 3/2. Multiplica en cruz: 2(x + 1) = 3(x − 2) → 2x + 2 = 3x − 6 → x = 8. (x no puede ser 2, porque no se puede dividir entre cero.)
Casos especiales
Si x desaparece y queda algo verdadero como 4 = 4, sirve cualquier número (una identidad). Si queda algo falso como 4 = 7, no hay solución.
Problemas: de la historia a la ecuación
- Lee con atención. ¿Qué es lo desconocido? Llámalo x (escríbelo: "Sea x = …").
- Escribe las otras cantidades usando x.
- Busca la frase que dice que dos cosas son iguales. Plantea la ecuación.
- Resuelve.
- Comprueba la respuesta en la historia y escríbela con sus unidades.
Ejemplo: un rectángulo mide 4 m más de largo que de ancho. Su perímetro es 32 m. Sea ancho = x. Largo = x + 4. 2(x + x + 4) = 32 → 4x + 8 = 32 → x = 6. Ancho 6 m, largo 10 m.
Tipos comunes: edades, números consecutivos, perímetro, dinero y monedas, velocidad–distancia–tiempo, porcentajes.
Fórmulas y definiciones clave
- ax + b = 0 → x = −b/a (a ≠ 0)
- ax + b = c → x = (c − b)/a
- Transponer: + ↔ −, × ↔ ÷
- Quitar fracciones: multiplicar los dos lados por el m. c. m.
- Comprobar: poner x de nuevo en los dos lados
Ejemplos resueltos
1. Resuelve x − 9 = 4.
Suma 9 a los dos lados: x = 4 + 9 = 13. Comprobación: 13 − 9 = 4 ✓.
2. Resuelve 4x + 5 = 29.
Resta 5: 4x = 24. Divide entre 4: x = 6. Comprobación: 4 × 6 + 5 = 29 ✓.
3. Resuelve 7x − 3 = 4x + 12.
Resta 4x: 3x − 3 = 12. Suma 3: 3x = 15. Divide entre 3: x = 5. Comprobación: 32 = 32 ✓.
4. Resuelve 2(3x − 1) = 5(x + 2).
Quita los paréntesis: 6x − 2 = 5x + 10. Resta 5x: x − 2 = 10. Entonces x = 12. Comprobación: 2 × 35 = 70 y 5 × 14 = 70 ✓.
5. Resuelve x/4 − 1 = x/6.
El m. c. m. de 4 y 6 es 12. Multiplica por 12: 3x − 12 = 2x. Entonces x = 12. Comprobación: 3 − 1 = 2 ✓.
6. La suma de tres números consecutivos es 72. Encuéntralos.
Sean x, x + 1, x + 2. 3x + 3 = 72 → 3x = 69 → x = 23. Los números: 23, 24, 25.
7. Una madre tiene 3 veces la edad de su hijo. Dentro de 12 años tendrá el doble. Halla sus edades actuales.
Hijo = x, madre = 3x. Dentro de 12 años: 3x + 12 = 2(x + 12) → 3x + 12 = 2x + 24 → x = 12. Hijo 12 años, madre 36 años.
Errores comunes
- Hacer un paso solo en un lado. Si restas 3 a la izquierda, resta 3 también a la derecha.
- Olvidar cambiar el signo al transponer: x + 5 = 9 da x = 9 − 5, no 9 + 5.
- Multiplicar solo el primer término dentro del paréntesis: 3(x − 2) es 3x − 6, no 3x − 2.
- Quitar las fracciones pero olvidar multiplicar también los términos enteros: en x/2 + 1 = 4, al multiplicar por 2 queda x + 2 = 8.