¿Qué es un porcentaje?
Un porcentaje es un número «de cada 100». El signo % significa «dividir entre 100». Así, 7% = 7/100 = 0.07.
Pasar de fracciones a decimales y porcentajes
- Porcentaje → decimal: divide entre 100 (35% = 0.35).
- Decimal → porcentaje: multiplica por 100 (0.6 = 60%).
- Fracción → porcentaje: divide el numerador entre el denominador y luego × 100 (3/8 = 0.375 = 37.5%).
- Porcentaje → fracción: escríbelo sobre 100 y simplifica (45% = 45/100 = 9/20).
Proporción como porcentaje
Una proporción compara una parte con el total. Si 18 de 24 estudiantes van andando al colegio, la proporción es 18/24 = 0.75 = 75%.
Hallar el porcentaje de una cantidad
«x% de A» = A × x/100. Para el 15% de 360: 360 × 0.15 = 54.
Un truco mental: el 10% es la décima parte, el 5% es la mitad del 10%, el 1% es la centésima parte. 15% de 360 = 36 + 18 = 54.
Un número como porcentaje de otro
Escríbelo como fracción del total y luego × 100. 12 de 40 = 12/40 × 100 = 30%. Antes pon las dos cantidades en la misma unidad (45 min de 2 h = 45/120 = 37.5%).
Variación porcentual y multiplicadores
Variación porcentual = (nuevo − original) ÷ original × 100. Un resultado positivo es un aumento; uno negativo es una disminución. Divide siempre entre el valor original.
Multiplicadores
Aumentar un r% → multiplicar por (1 + r/100). Disminuir un r% → multiplicar por (1 − r/100). Ejemplos: +8% → × 1.08; −30% → × 0.7. Un multiplicador hace el cambio en un solo paso y además te dice la tasa: × 0.85 significa una disminución del 15%.
Puntos porcentuales
Si una tasa pasa de 20% a 25%, sube 5 puntos porcentuales, pero sube un 25% respecto a su valor anterior (5 ÷ 20). Las noticias suelen confundir ambas cosas.
Porcentajes sucesivos e inversos
Cambios sucesivos: multiplica los multiplicadores. +10% y luego −10%: 1.1 × 0.9 = 0.99, es decir, −1% en total. +20% y luego +20% es × 1.44 = +44%, no +40%.
Cambio repetido (crecimiento compuesto): r% al año durante n años → × (1 + r/100)ⁿ. ₹10,000 al 5% anual durante 3 años: 10,000 × 1.05³ = ₹11,576.25.
Porcentaje inverso: conoces el valor después del cambio. Divide entre el multiplicador. Un precio con 18% de impuesto es ₹590, así que antes del impuesto era 590 ÷ 1.18 = ₹500. No restes el 18% de 590.
Fórmulas y definiciones clave
- x% = x ÷ 100
- x% de A = A × x/100
- A como % de B = (A ÷ B) × 100
- Variación porcentual = (nuevo − original) ÷ original × 100
- Aumento r%: × (1 + r/100); disminución r%: × (1 − r/100)
- Cambios sucesivos: multiplicar los multiplicadores
- Cambio repetido: final = original × (1 ± r/100)ⁿ
- Inverso: original = nuevo ÷ multiplicador
Ejemplos resueltos
1. Escribe 3/5 como porcentaje y como decimal.
3 ÷ 5 = 0.6. 0.6 × 100 = 60%.
2. Halla el 35% de 240 m.
240 × 0.35 = 84 m. (Comprobación: 10% = 24, 30% = 72, 5% = 12, total 84.)
3. Una clase tiene 32 estudiantes y 12 llevan gafas. ¿Qué porcentaje lleva gafas?
12 ÷ 32 = 0.375, × 100 = 37.5%.
4. El billete de autobús sube de ₹40 a ₹46. Halla el aumento porcentual.
Cambio = 6. 6 ÷ 40 × 100 = 15% de aumento.
5. Un portátil cuesta €800. Se rebaja un 15% y después otro 10%. Halla el precio final y la variación porcentual total.
Multiplicadores 0.85 y 0.9. 800 × 0.85 × 0.9 = €612. El multiplicador total es 0.765, o sea una disminución del 23.5% (no del 25%).
6. Después de subir un 12%, una ciudad tiene 28,000 habitantes. ¿Cuántos había antes?
Multiplicador 1.12. 28,000 ÷ 1.12 = 25,000 habitantes.
Errores comunes
- Dividir entre el valor nuevo al calcular la variación porcentual. Divide siempre entre el original.
- Sumar porcentajes sucesivos: +20% y luego +20% es +44%, no +40%.
- Hacer el porcentaje inverso restando: para deshacer +18%, divide entre 1.18; no quites el 18%.
- Confundir porcentaje y puntos porcentuales: de 20% a 25% son +5 puntos, pero una subida del 25%.