Was ist ein Prozentsatz?
Ein Prozentsatz ist eine Zahl "von Hundert". Das Zeichen % bedeutet "geteilt durch 100". Also ist 7% = 7/100 = 0.07.
Umwandeln zwischen Brüchen, Dezimalzahlen und Prozent
- Prozent → Dezimalzahl: durch 100 teilen (35% = 0.35).
- Dezimalzahl → Prozent: mit 100 multiplizieren (0.6 = 60%).
- Bruch → Prozent: Zähler durch Nenner teilen, dann × 100 (3/8 = 0.375 = 37.5%).
- Prozent → Bruch: über 100 schreiben und kürzen (45% = 45/100 = 9/20).
Anteil als Prozentsatz
Ein Anteil vergleicht einen Teil mit dem Ganzen. Wenn 18 von 24 Schülern zu Fuß zur Schule gehen, ist der Anteil 18/24 = 0.75 = 75%.
Den Prozentwert einer Größe berechnen
"x% von A" = A × x/100. Für 15% von 360 rechnest du: 360 × 0.15 = 54.
Ein schneller Weg im Kopf: 10% ist ein Zehntel, 5% ist die Hälfte von 10%, 1% ist ein Hundertstel. 15% von 360 = 36 + 18 = 54.
Eine Zahl als Prozentsatz einer anderen
Schreibe sie als Bruch vom Ganzen, dann × 100. 12 von 40 = 12/40 × 100 = 30%. Bringe vorher beide Zahlen auf dieselbe Einheit (45 min von 2 h = 45/120 = 37.5%).
Prozentuale Änderung und Faktoren
Prozentuale Änderung = (neu − alt) ÷ alt × 100. Ein Pluszeichen im Ergebnis zeigt eine Zunahme, ein Minuszeichen eine Abnahme. Teile immer durch den Ausgangswert.
Faktoren
Erhöhung um r% → mal (1 + r/100). Senkung um r% → mal (1 − r/100). Beispiele: +8% → × 1.08; −30% → × 0.7. Mit einem Faktor erledigst du die Änderung in einem Schritt, und er verrät dir auch die Rate: × 0.85 bedeutet eine Abnahme um 15%.
Prozentpunkte
Steigt ein Satz von 20% auf 25%, dann ist er um 5 Prozentpunkte gestiegen, aber um 25% seines alten Wertes (5 ÷ 20). In Nachrichten wird das oft verwechselt.
Mehrere Änderungen nacheinander und der Grundwert
Änderungen nacheinander: Multipliziere die Faktoren. +10% und dann −10%: 1.1 × 0.9 = 0.99, also insgesamt −1%. +20% und dann +20% ist × 1.44 = +44%, nicht +40%.
Wiederholte Änderung (Zinseszins): r% pro Jahr über n Jahre → × (1 + r/100)ⁿ. ₹10,000 bei 5% pro Jahr über 3 Jahre: 10,000 × 1.05³ = ₹11,576.25.
Rückwärts rechnen (Grundwert): Du kennst den Wert nach der Änderung. Teile durch den Faktor. Ein Preis nach 18% Steuer beträgt ₹590, vor der Steuer waren es also 590 ÷ 1.18 = ₹500. Ziehe nicht 18% von 590 ab.
Wichtige Formeln und Definitionen
- x% = x ÷ 100
- x% von A = A × x/100
- A als % von B = (A ÷ B) × 100
- Prozentuale Änderung = (neu − alt) ÷ alt × 100
- Erhöhung r%: × (1 + r/100); Senkung r%: × (1 − r/100)
- Änderungen nacheinander: Faktoren multiplizieren
- Wiederholte Änderung: Endwert = Anfangswert × (1 ± r/100)ⁿ
- Rückwärts: alt = neu ÷ Faktor
Gelöste Beispiele
1. Schreibe 3/5 als Prozentsatz und als Dezimalzahl.
3 ÷ 5 = 0.6. 0.6 × 100 = 60%.
2. Berechne 35% von 240 m.
240 × 0.35 = 84 m. (Probe: 10% = 24, 30% = 72, 5% = 12, zusammen 84.)
3. Eine Klasse hat 32 Schüler, 12 tragen eine Brille. Wie viel Prozent tragen eine Brille?
12 ÷ 32 = 0.375, × 100 = 37.5%.
4. Ein Busfahrschein wird von ₹40 auf ₹46 teurer. Berechne die prozentuale Zunahme.
Änderung = 6. 6 ÷ 40 × 100 = 15% Zunahme.
5. Ein Laptop kostet €800. Der Preis wird um 15% gesenkt, dann um weitere 10%. Berechne den Endpreis und die gesamte prozentuale Änderung.
Faktoren 0.85 und 0.9. 800 × 0.85 × 0.9 = €612. Gesamtfaktor 0.765, also eine Abnahme um 23.5% (nicht 25%).
6. Nach einem Anstieg um 12% hat eine Stadt 28,000 Einwohner. Wie viele waren es vorher?
Faktor 1.12. 28,000 ÷ 1.12 = 25,000 Einwohner.
Häufige Fehler
- Bei der prozentualen Änderung durch den neuen Wert teilen. Teile immer durch den Ausgangswert.
- Prozente nacheinander addieren: +20% und dann +20% sind +44%, nicht +40%.
- Den Grundwert durch Abziehen bestimmen: Um +18% rückgängig zu machen, teile durch 1.18; ziehe nicht 18% ab.
- Prozent und Prozentpunkte verwechseln: 20% → 25% sind +5 Punkte, aber ein Anstieg um 25%.